ΘΕΜΑ 4
4.1. Για να εμποδίσουμε τα φωτοηλεκτρόνια που εξέρχονται από το μέταλλο με κινητική ενέργεια \(Κ_{1}\) να φτάσουν στο απέναντι ηλεκτρόδιο πρέπει να εφαρμόσουμε τάση αποκοπής \(V_{1}\) τέτοια ώστε:

$$Κ_{1}=e\cdot V_{1} $$ $$\Rightarrow Κ_{1}=0,75\ eV$$

Σύμφωνα με τη φωτοηλεκτρική εξίσωση του Einstein:

$$Κ_{1}=h\cdot f_{1}-φ $$ $$\Rightarrow φ=h\cdot f_{1}-Κ_{1} $$ $$\Rightarrow φ=h\cdot \dfrac{c}{λ_{1}}-Κ_{1}$$

όπου \(φ\) το έργο εξαγωγής του μετάλλου, επομένως:

$$φ=(\dfrac{6,63\cdot 10^{-34}\cdot 3\cdot 10^{8}}{331,5\cdot 10^{-9}\cdot 1,6\cdot 10^{-19}}-0,75)\ eV $$ $$\Rightarrow φ=(3,75-0,75)\ eV $$ $$\Rightarrow φ=3\ eV$$

Μονάδες 6

4.2. Η συχνότητα κατωφλίου \(f_{0}\) είναι ίση με:

$$f_{0}=\dfrac{φ}{h} $$ $$\Rightarrow f_{0}=\dfrac{3\cdot 1,6\cdot 10^{-19}}{6,63\cdot 10^{-34}}\ Hz $$ $$\Rightarrow f_{0}=72,4\cdot 10^{13}\ Hz$$

Η συχνότητα \(f_{2}\) του φωτός μήκους κύματος \(λ_{2}\) θα είναι:

$$c=λ_{2}f_{2} $$ $$\Rightarrow f_{2}=\dfrac{c}{λ_{2}} $$ $$\Rightarrow f_{2}=\dfrac{3\cdot 10^{8}}{6\cdot 10^{-7}}\ Hz $$ $$\Rightarrow f_{2}=50\cdot 10^{13}\ Hz$$

Παρατηρούμε ότι \(f_{2} < f_{0}\) άρα δεν θα εξέλθουν φωτοηλεκτρόνια από το μέταλλο.

Μονάδες 6

4. 3. Οι ακτίνες \(Χ\) έχουν μήκος κύματος:

$$λ=\dfrac{λ_{2}}{3\cdot 10^{3}} $$ $$\Rightarrow λ=\dfrac{6\cdot 10^{-7}}{3\cdot 10^{3}}\ m $$ $$\Rightarrow λ=20\cdot 10^{-11}\ m$$

Αν \(λ'\) είναι το μήκος κύματος των σκεδαζόμενων φωτονίων, τότε:

$$λ'-λ=\dfrac{h}{m_{e}\cdot c}(1-συνφ) $$ $$\Rightarrow λ'=λ+\dfrac{h}{m_{e}\cdot c}(1-συνφ)$$

Επειδή η γωνία σκέδασης \(φ=60^{0}\), έχουμε \(συνφ=1/2\), επομένως:

$$λ'=(20\cdot 10^{-11}+\dfrac{6,63\cdot 10^{-34}}{9\cdot 10^{-31}\cdot 3\cdot 10^{8}}(1-\dfrac{1}{2}))\ m $$ $$\Rightarrow λ'=20,12\cdot 10^{-11}\ m$$

Μονάδες 6

4. 4. Κατά τη σκέδαση ισχύει η αρχή διατήρησης της ενέργειας. Αν \(Ε_{φ}\) είναι η ενέργεια του προσπίπτοντος φωτονίου, \(Ε_{φ}'\) είναι η ενέργεια του σκεδαζόμενου φωτονίου και \(Κ_{e}\) είναι η κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου μετά τη σκέδαση, τότε:

$$Ε_{φ}=Ε_{φ}'+K_{e} $$ $$\Rightarrow \dfrac{hc}{λ}=\dfrac{hc}{λ'}+K_{e} $$ $$\Rightarrow K_{e}=\dfrac{hc}{λ}-\dfrac{hc}{λ'} $$ $$\Rightarrow K_{e}=hc(\dfrac{1}{λ}-\dfrac{1}{λ'})$$

Επομένως:

$$K_{e}=6,63\cdot 10^{-34}\cdot 3\cdot 10^{8}(\dfrac{1}{20\cdot 10^{-11}}-\dfrac{1}{20,12\cdot 10^{-11}})\ J $$ $$\Rightarrow K_{e}=59,3\cdot 10^{-19}\ J$$

Αν \(p_{e}\) είναι το μέτρο της ορμής του ηλεκτρονίου μετά τη σκέδαση, τότε:

$$K_{e}=\dfrac{p_{e}^{2}}{2m_{e}} $$ $$\Rightarrow p_{e}=\sqrt{2K_{e}m_{e}} $$ $$\Rightarrow p_{e}=\sqrt{2\cdot 59,3\cdot 10^{-19}\cdot 9\cdot 10^{-31}}\ \dfrac{Kgm}{s}$$ $$\Rightarrow p_{e}=32,7\cdot 10^{-25}\ \dfrac{Kgm}{s}$$

Όμως:

$$λ_{e}=\dfrac{h}{p_{e}} $$ $$\Rightarrow λ_{e}=\dfrac{6,63\cdot 10^{-34}}{32,7\cdot 10^{-25}}\ m $$ $$\Rightarrow λ_{e}=2\cdot 10^{-10}\ m$$

Μονάδες 7