ΘΕΜΑ 4
4.1. Η γενική μορφή της εξίσωσης της τάσης αποκοπής \(V_{o}\) σε συνάρτηση με τη συχνότητα της ακτινοβολίας \(f\) είναι:

$$V_{o}=a\cdot f+β\ \ \ \ (1)$$

Από τις τιμές που φαίνονται στο διάγραμμα υπολογίζουμε την κλίση της ευθείας:

$$α=\dfrac{ΔV_{o}}{Δf}$$ $$=\dfrac{(ΜΛ)}{(ΚΜ)}$$ $$=\dfrac{3,10-1,03}{(1,80-1,30)\cdot 10^{15}}\cdot\ \dfrac{V}{Hz}$$ $$=4,14\cdot 10^{-15}\ V/Hz$$

Για \(f=1,30\cdot 10^{15}\ Hz\) είναι \(V_{o}=1,03\ V\), άρα από τη σχέση \((1)\) έχουμε:

$$1,03=4,14\cdot 10^{-15}\cdot 1,30\cdot 10^{15}+β $$ $$\Rightarrow β=-4,35\ V$$

Συνεπώς προκύπτει:

$$V_{o}=4,14\cdot 10^{-15}\cdot f-4,35\ \ \text{(S.I.)}\ \ \ \ (2)$$

Από τη φωτοηλεκτρική εξίσωση έχουμε:

$$Κ=hf-φ\ \ \ \ (3)$$

Εφαρμόζοντας ΘΜΚΕ για την κίνηση ενός φωτοηλεκτρονίου από την κάθοδο στην άνοδο και θέτοντας όπου \(Κ_{αν}=0\) και \(Κ_{\text{καθ}}=Κ=eV_{o}\), έχουμε:

$$|q_{e}|V_{o}=hf-φ $$ $$\Rightarrow V_{o}=\dfrac{h}{|q_{e}|}\cdot f-\dfrac{φ}{|q_{e}|}\ \ \ \ (4)$$

Συγκρίνοντας τις εξισώσεις \((2)\) και \((4)\) υπολογίζουμετην τιμή της σταθεράς του Planck:

$$\dfrac{h}{|q_{e}|}=4,14\cdot 10^{-15}\cdot \dfrac{J\cdot s}{C} $$ $$\Rightarrow h=4,14\cdot 10^{-15}\cdot 1,6\cdot 10^{-19}\ J\cdot s $$ $$\Rightarrow h=6,62\cdot 10^{-34}\ J\cdot s$$

Μονάδες 7
4.2. Συγκρίνοντας τις εξισώσεις \((2)\) και \((4)\) υπολογίζουμε το έργο εξαγωγής του μετάλλου της επίστρωσης της επιφάνειας της καθόδου:

$$ \dfrac{φ}{|q_e|}=4,35\ \dfrac{J}{C} $$ $$\Rightarrow φ=4,35\cdot 1,6\cdot 10^{-19}\ J $$ $$\Rightarrow φ=6,96\cdot 10^{-19}\ J$$

Η συχνότητα κατωφλίου \(f_{o}\) δίνεται από τη σχέση:

$$f_{o}=\dfrac{φ}{h}$$ $$=\dfrac{6,96\cdot 10^{-19}}{6,62\cdot 10^{-34}}\ Hz$$ $$=1,05\cdot 10^{15}\ Hz$$

Μονάδες 6

4.3. Αν \(λ'\) είναι το μήκος κύματος των σκεδαζόμενων φωτονίων, τότε σύμφωνα με την εξίσωση Compton έχουμε:

$$λ'-λ=\dfrac{h}{m_{e}\cdot c}(1-συνφ) $$ $$\Rightarrow λ'=λ+\dfrac{h}{m_{e}\cdot c}(1-συν120^{0}) $$ $$\Rightarrow λ'=λ+\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{h}{m_{e}\cdot c}\ \ \ \ (5)$$

Σύμφωνα με την εκφώνηση για την κατά \(20\%\) μεταβολή του μήκους κύματος έχουμε:

$$\dfrac{λ΄-λ}{λ}\cdot 100\%=20\% $$ $$\Rightarrow \dfrac{λ΄-λ}{λ}=0,2 $$ $$\Rightarrow λ΄=1,2λ\ \ \ \ (6)$$

Από τις σχέσεις \((5)\) και \((6)\) βρίσκουμε:

$$1,2λ=λ+\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{h}{m_{e}\cdot c} $$ $$\Rightarrow \dfrac{λ}{5}=\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{h}{m_{e}\cdot c} $$ $$\Rightarrow λ=\dfrac{15}{2}\cdot \dfrac{h}{m_{e}\cdot c} $$ $$\Rightarrow λ=1,84\cdot 10^{-11}\ m$$

Μονάδες 6

4.4. Κατά τη σκέδαση ισχύει η αρχή διατήρησης της ενέργειας. Αν \(Ε_{φ}\) είναι η ενέργεια του προσπίπτοντος φωτονίου, \(Ε_{φ}'\) είναι η ενέργεια του σκεδαζόμενου φωτονίου και \(Κ_{e}\) είναι η κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου μετά τη σκέδαση, τότε:

$$Ε_{φ}=Ε_{φ}'+K_{e} $$ $$\Rightarrow \dfrac{hc}{λ}=\dfrac{hc}{λ'}+K_{e} $$ $$\Rightarrow K_{e}=hc(\dfrac{1}{λ}-\dfrac{1}{λ'})\ \ \ \ (7)$$

Λαμβάνοντας υπόψη τη σχέση \((6)\), η εξίσωση \((7)\) γίνεται:

$$K_{e}=\dfrac{hc}{6λ} $$ $$\Rightarrow K_{e}=1,80\cdot 10^{-15}\ J$$

Μονάδες 6