Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 12132 φορές Επικοινωνία | |
---|---|---|---|---|
Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Β' Λυκείου | |
Κωδικός Θέματος: | 32677 | Θέμα: | 4 | |
Τελευταία Ενημέρωση: | 24-Φεβ-2023 | Ύλη: | 2.1 Μονοτονία-Ακρότατα-Συμμετρίες Συνάρτησης 2.2 Κατακόρυφη-Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης | |
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) |
Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
---|---|---|---|
Τάξη: | Β' Λυκείου | ||
Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
Θέμα: | 4 | ||
Κωδικός Θέματος: | 32677 | ||
Ύλη: | 2.1 Μονοτονία-Ακρότατα-Συμμετρίες Συνάρτησης 2.2 Κατακόρυφη-Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης | ||
Τελευταία Ενημέρωση: 24-Φεβ-2023 | |||
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) |
ΘΕΜΑ 4
Δίνονται οι συναρτήσεις \(φ(x)=-x^{2}\), \(x∈\mathbb{R}\) και \(f(x)=-x^{2}+2x+1\), \(x∈\mathbb{R}\).
α) Να αποδείξετε ότι \(f(x)=-(x-1)^{2}+2\) για κάθε \(x∈\mathbb{R}\) και στη συνέχεια, με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \(φ\), που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση \(f\).
![](https://trapeza.z6.web.core.windows.net/32677-picture-01.png)
(Μονάδες 10)
β) Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \(f\) να βρείτε:
Τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση \(f\) είναι γνησίως μονότονη.
(Μονάδες 5)Το ολικό ακρότατο της \(f\) καθώς και τη θέση του.
(Μονάδες 5)Το πλήθος των ριζών της εξίσωσης \(f(x)=κ, κ<2\). Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 5)
ΛΥΣΗ
α) Ο τύπος της συνάρτησης \(f\) διαδοχικά γράφεται:
$$\begin{align} f(x) &=-x^{2}+2x+1 \\ &=-x^{2}+2x-1+2 \\ &=-(x^{2}-2x+1)+2 \\ &=-(x-1)^{2}+2\end{align}$$
Εναλλακτικά, ξεκινώντας από το ζητούμενο έχουμε:$$\begin{align} -(x-1)^{2}+2 &= -(x^{2}-2x+1)+2 \\ &=-x^{2}+2x-1+2 \\ &=-x^{2}+2x+1\\ &=f(x)\end{align}$$
Παρατηρούμε ότι \(f(x)=φ(x-1)+2\). Άρα, η γραφική παράσταση της \(f\) προκύπτει από μετατόπιση της γραφικής παράστασης της \(φ\) κατά μία μονάδα δεξιά και δύο μονάδες επάνω:
![](https://trapeza.z6.web.core.windows.net/32677-picture-02.png)
β)
Από τη γραφική της παράσταση, προκύπτει ότι η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα \((-∞,1]\) και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα \([1,+∞)\).
Η \(f\) παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο \(x_{0}=1\) το \(f(1)=2\).
Οι ρίζες της εξίσωσης \(f(x)=κ\), \(κ<2\) είναι οι τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της \(f\) με την οριζόντια ευθεία \(y=κ\). Από τη γραφική παράσταση προκύπτει ότι για \(κ<2\), υπάρχουν δύο σημεία τομής. Άρα, η εξίσωση έχει δύο ρίζες.
![](https://trapeza.z6.web.core.windows.net/32677-picture-03.png)