ΛΥΣΗ

α)

1. Το τριώνυμο $x^2+9x+18$ έχει $\alpha =1$, $\beta =9$, $\gamma =18$ και διακρίνουσα:

$$\Delta ={\beta }^2-4\alpha \gamma$$ $$=9^2-4\cdot 1\cdot 18=81-72=9>0$$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$$x_{\text{1,2}}={\displaystyle \frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta }}{2\alpha }}$$ $$={\displaystyle \frac{-9\pm \sqrt{9}}{2\cdot 1}}$$ $$=\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{-9+3}{2}}=-3\\ {\displaystyle \frac{-9-3}{2}}=-6\end{array}$$

2. Επειδή $|x+3|\ge 0$ και $|x^2+9x+18|\ge 0$, ισοδύναμα βρίσκουμε:

$$|x+3|=0\text{και}|x^2+9x+18|=0$$ $$\iff x+3=0\text{και}{x}^2+9x+18=0$$ $$\stackrel{(ai)}{\iff }x=-3\text{και}\{x=-3\text{ή}x=-6\}$$

Άρα, τελικά $x=-3$.

β)

1. Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Από τον πίνακα προσήμων συμπεραίνουμε ότι:

$$x^2+9x+18<0$$ $$\iff x\in (-6,-3)$$

και

$$x^2+9x+18>0$$ $$\iff x\in (-\mathrm{\infty },-6)\cup (-3,+\mathrm{\infty })$$

2. Η εξίσωση γράφεται:

$$|x^2+9x+18|=-(x^2+9x+18),$$

που ισχύει αν και μόνο αν:

$$x^2+9x-18\le 0$$

Άρα, από το ερώτημα (βi) συμπεραίνουμε ότι $x\in [-6,-3]$.