ΛΥΣΗ

α) Η διακρίνουσα του τριωνύμου \(αx^{2}-(α^{2}-1)x-α\), με \(α\ne 0\) είναι:

$$Δ=[-(α^{2}-1)]^{2}-4\cdot α\cdot (-α)$$ $$=(α^{2}-1)^{2}+4α^{2}$$ $$=α^{4}-2α^{2}+1+4α^{2}$$ $$=α^{4}+2α^{2}+1$$ $$=(α^{2}+1)^{2}$$

β) Από το α) ερώτημα προκύπτει ότι \(Δ>0\) για οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου \(α\), οπότε η εξίσωση \(αx^{2}-(α^{2}-1)x-α=0\) έχει δυο ρίζες διαφορετικές, τις:

$$ρ_{1}=\dfrac{-[-(α^{2}-1)]+\sqrt{(α^{2}+1)^{2}}}{2α}$$ $$=\dfrac{(α^{2}-1)+(α^{2}+1)}{2α}=α$$

$$ρ_{2}=\dfrac{-[-(α^{2}-1)]-\sqrt{(α^{2}+1)^{2}}}{2α}$$ $$=\dfrac{(α^{2}-1)-(α^{2}+1)}{2α}=-\dfrac{1}{α}$$

γ) Έχουμε:

$$|ρ_{1}-ρ_{2}|=2 $$ $$\Leftrightarrow |α-(-\dfrac{1}{α})|=2 $$ $$\Leftrightarrow |α+\dfrac{1}{α}|=2 $$ $$\Leftrightarrow |\dfrac{α^{2}+1}{α}|=2 $$ $$\Leftrightarrow α^{2}+1=2|α| $$ $$\Leftrightarrow |α|^{2}-2|α|+1=0 $$ $$\Leftrightarrow (|α|-1)^{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow |α|-1=0 $$ $$\Leftrightarrow |α|=1 $$ $$\Leftrightarrow α=\pm 1$$