ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο \(f(x)=-x^{2}+2x+3\) έχει διακρίνουσα:

$$Δ=2^{2}-4\cdot (-1)\cdot 3$$ $$=4+12=16>0$$

Το άθροισμα των ριζών του είναι:

$$S=x_{1}+x_{2}$$ $$=\dfrac{-2}{-1}=2$$

και το γινόμενό τους είναι:

$$P=x_{1}\cdot x_{2}=\dfrac{3}{-1}=-3$$

Άρα \(x_{1}=3\), \(x_{2}=-1\) και το πρόσημο του τριωνύμου είναι:

Οπότε το τριώνυμο παίρνει θετικές τιμές για \(x\in (-1,3)\) και αρνητικές τιμές για \(x\in (-\infty ,-1)\cup (3,+\infty)\).

β) Εφόσον \(2,999\in (-1,3)\), από τον παραπάνω πίνακα προσήμου θα είναι \(f(2,999)>0\) και επειδή \(-1,002<-1\) θα είναι \(f(-1,002)<0\). Άρα:

$$f(2,999)\cdot f(-1,002)<0$$

γ) Αν:

$$-3<α<3 \Leftrightarrow |α|<3$$

δηλαδή \(0\le |α|<3\), τότε ο αριθμός \(-α^{2}+2|α|+3=-|α|^{2}+2|α|+3=f(|α|)\) είναι θετικός, όπως προκύπτει από τον πίνακα προσήμου του τριωνύμου \(f(x)=-x^{2}+2x+3\) στο α) ερώτημα.