ΛΥΣΗ

α) Από το σχήμα βλέπουμε ότι:
i. τα σημεία τομής των \(C_{f}\) και \(C_{g}\) είναι τα \(Α(1,1)\) και \(Β(3,1)\).
ii. η \(C_{f}\) είναι κάτω από την \(C_{g}\) για \(x\in (1,3)\).

β)
i. Οι τετμημένες των σημείων τομής των \(C_{f}\) και \(C_{g}\) είναι οι λύσεις της εξίσωσης:

$$f(x)=g(x) $$ $$\Leftrightarrow |x-2|=1$$

Έχουμε ισοδύναμα:

$$|x-2|=1$$ $$\Rightarrow \begin{cases} x-2=-1 \\ x-2=1 \end{cases}$$ $$\Rightarrow \begin{cases} x=1 \\ x=3 \end{cases}$$

Έχουμε επίσης \(f(1)=|1-2|=1=g(1)\) και \(f(3)=|3-2|=1=g(3)\), οπότε τα κοινά σημεία των δυο γραφικών παραστάσεων είναι τα \(Α(1,1)\) και \(Β(3,1)\).

ii. Οι τιμές του \(x\in \mathbb{R}\) για τις οποίες η \(C_{f}\) είναι κάτω από την \(C_{g}\) είναι λύσεις της ανίσωσης:

$$f(x) < g(x) $$ $$\Leftrightarrow |x-2| < 1$$

Έχουμε ισοδύναμα:

$$|x-2| < 1 $$ $$\Leftrightarrow -1 < x-2< 1 $$ $$\Leftrightarrow 2-1< x < 2+1 $$ $$\Leftrightarrow 1 < x < 3$$

δηλαδή η \(C_{f}\) είναι κάτω από την \(C_{g}\) για \(x\in (1,3)\).

γ) Η παράσταση \(Α\) ορίζεται στους πραγματικούς αριθμούς αν και μόνο αν:

$$\begin{cases} 1-f(x)\ge 0 \\ \text{και} \\ f(x)\ne 0 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} f(x)\le 1 \\ \text{και} \\ f(x)\ne 0 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} |x-2|\le 1 \\ \text{και} \\ |x-2|\ne 0 \end{cases}$$ $$\overset{(βii)}{ \Leftrightarrow } \begin{cases} 1\le x\le 3 \\ \text{και} \\ x\ne 2 \end{cases}$$

Τελικά, η παράσταση \(Α\) ορίζεται στους πραγματικούς αριθμούς για \(x\in [1,2)\cup (2,3]\).