ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο \(x^{2}-2x-8\) έχει \(α=1\), \(β=-2\), \(γ=-8\) και διακρίνουσα

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot (-8)$$ $$=4+32=36>0$$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$ $$=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{36}}{2\cdot 1}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{2+6}{2}=4 \\ \dfrac{2-6}{2}=-2 \end{cases}$$

Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Από τον πίνακα προσήμων συμπεραίνουμε ότι:

$$x^{2}-2x-8<0 $$ $$\Leftrightarrow -2 < x < 4 $$ $$\Leftrightarrow x\in (-2,4)$$

και:

$$x^{2}-2x-8>0 $$ $$\Leftrightarrow (x<-2\ \text{ή}\ x>4) $$ $$\Leftrightarrow x\in (-\infty ,-2)\cup (4,+\infty)$$

β) Για να βρούμε το πρόσημο της παράστασης \(κ^{2}-2κ-8\) πρέπει να γνωρίζουμε σε ποιο από τα διαστήματα του ερωτήματος α) ανήκει ο \(κ=-\dfrac{8889}{4444}\). Συγκρίνουμε τον \(κ\) με το \(-2\) :

$$κ-(-2)=-\dfrac{8889}{4444}+2$$ $$=-\dfrac{8889}{4444}+\dfrac{8888}{4444}$$ $$=-\dfrac{1}{4444}<0$$

Άρα, \(κ-(-2)<0 \Leftrightarrow κ<-2\). Οπότε, από τον πίνακα του ερωτήματος α) συμπεραίνουμε ότι \(κ^{2}-2κ-8>0\).

γ) Η δοθείσα παράσταση γράφεται:

$$μ^{2}-2|μ|-8=|μ|^{2}-2|μ|-8$$

Επομένως προκύπτει από το αρχικό τριώνυμο για \(x=|μ|\).
Επίσης έχουμε ότι:

$$-4<μ<4 $$ $$\Leftrightarrow |μ|<4 $$ $$\Leftrightarrow 0\le |μ|<4$$

Από τον πίνακα προσήμων του ερωτήματος α) διαπιστώνουμε ότι για \(0\le |μ|<4\) είναι:

$$|μ|^{2}-2|μ|-8<0$$