ΛΥΣΗ

α) Θέτοντας στην εξίσωση \(x^{4}-8x-9=0\) όπου \(x^{2}=u\ge 0\), γίνεται:

$$u^{2}-8u-9=0$$

Το τριώνυμο έχει \(α=1\), \(β=-8\), \(γ=-9\) και διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ=(-8)^{2}-4\cdot 1\cdot (-9)=64+39=100>0$$

Οι ρίζες του είναι οι:

$$u_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$ $$=\dfrac{-(-8)\pm \sqrt{100}}{2}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{8+10}{2}=\dfrac{18}{2}=9>0\ \ \text{δεκτή} \\ \dfrac{8-10}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1<0\ \ \text{απορρίπτεται} \end{cases}$$

Όμως έχουμε:

$$x^{2}=u $$ $$\Leftrightarrow x^{2}=9 $$ $$\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{9} $$ $$\Leftrightarrow x=\pm 3$$

β) Όπως και στο ερώτημα α), η εξίσωση \(x^{4}-βx^{2}+γ=0\), αν θέσουμε όπου \(x^{2}=u\) με \(u\ge 0\), ισοδύναμα γίνεται:

$$u^{2}+βu+γ=0$$

1. Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα \(Δ=β^{2}-4γ\), με \(β^{2}\ge 0\) και \(γ<0\) οπότε \(-γ>0\).
   Συνεπώς, \(Δ>0\) ως άθροισμα ενός μη αρνητικού και ενός θετικού αριθμού.

2. Επειδή \(Δ>0\) το τριώνυμο έχει δύο άνισες ρίζες \(u_{1},u_{2}\). Από τους τύπους Vietaτο γινόμενο των ριζών είναι \(Ρ=\dfrac{γ}{α}=γ<0\). Άρα, οι ρίζες είναι μη μηδενικές και ετερόσημες.
   Έστω:
   \(\begin{cases} u_{1}<0\ \text{,}\ &\text{απορρίπτεται} \\ u_{2}>0\ \text{,}\ &\text{δεκτή} \end{cases}\).
   Τότε έχουμε:

$$x^{2}=u_{2} $$ $$\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{u_{2}}$$