ΛΥΣΗ

α) Η εξίσωση \(x^{2}+2x+3=α\) ισοδύναμα γράφεται:

$$x^{2}+2x+3-α=0\ \ \ \ (1)$$

και έχει διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ=2^{2}-4\cdot 1\cdot (3-α)=$$ $$=4-12+4α=4α-8$$

1. Η εξίσωση \((1)\) έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες αν και μόνο αν:

$$Δ>0 $$ $$\Leftrightarrow 4α-8>0 $$ $$\Leftrightarrow 4α>8 $$ $$\Leftrightarrow α>2$$

2. Η εξίσωση \((1)\) έχει μια διπλή ρίζα αν και μόνο αν:

   $$Δ=0 $$ $$\Leftrightarrow 4α-8=0 $$ $$\Leftrightarrow 4α=8 $$ $$\Leftrightarrow α=2$$

   Για \(α=2\) η διπλή ρίζα είναι η:

   $$x=\dfrac{-β}{2α}$$ $$=\dfrac{-2}{2}=-1$$

β)

1. Είναι:

   $$f(x)\ge 2 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+2x+3\ge 2 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+2x+1\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow (x+1)^{2}\ge 0$$

   το οποίο ισχύει για κάθε \(x\in \mathbb{R}\).

2. Από το ερώτημα β)i. έχουμε ότι:

   $$f(x)\ge 2 $$ $$\Leftrightarrow f(x)-2\ge 0$$

   για κάθε \(x\in \mathbb{R}\). Οπότε ισοδύναμα έχουμε:

   $$\sqrt{f(x)-2}\le 2 $$ $$\Leftrightarrow (\sqrt{f(x)-2})^{2}\le 2^{2} $$ $$\Leftrightarrow f(x)-2\le 4 $$ $$\Leftrightarrow f(x)\le 6 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+2x+3\le 6 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+2x-3\le 0$$

   Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα:

   $$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=2^{2}-4\cdot 1\cdot (-3)$$ $$=4+12=16>0$$

   και ρίζες τις:

   $$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$ $$=\dfrac{-2\pm \sqrt{16}}{2}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{-2+4}{2}=1 \\ \dfrac{-2-4}{3}=-3 \end{cases}$$

   Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

   

   Από τον πίνακα προσήμων συμπεραίνουμε ότι:

   $$x^{2}+2x-3\le 0 $$ $$\Leftrightarrow -3\le x\le 1 $$ $$\Leftrightarrow x\in [-3,1]$$