ΛΥΣΗ

α) Για τη διαφορά \(ω\) της προόδου ισχύει ότι:

$$ω=α_{3}-α_{2}=(κ+1)^{2}-κ^{2}$$ $$=κ^{2}+2κ+1-κ^{2}=2κ+1\ \ \ \ (1)$$

Άρα, η διαφορά \(ω\) είναι περιττός αριθμός.

β)

1. Έχουμε ότι:

$$α_{2}=α_{1}+ω $$ $$\overset{(1)}{\Leftrightarrow} κ^{2}=2+2κ+1 $$ $$\Leftrightarrow κ^{2}-2κ-3=0$$

Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot (-3)=16>0$$

και ρίζες τις:

$$κ_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$ $$=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{16}}{2}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{2+4}{2}=3 \\ \dfrac{2-4}{2}=-1 \end{cases}$$

Η τιμή \(κ=-1\) απορρίπτεται γιατί \(κ>1\). Άρα, \(κ=3\). Οπότε, από τη σχέση \((1)\) έχουμε:

$$ω=2\cdot 3+1=7$$

2. Για να είναι ο \(72\) όρος της προόδου, πρέπει να υπάρχει φυσικός αριθμός \(ν\) τέτοιος ώστε:

$$α_{ν}=72 $$ $$\Leftrightarrow α_{1}+(ν-1)ω=72 $$ $$\Leftrightarrow 2+(ν-1)7=72 $$ $$\Leftrightarrow 2+7ν-7=72 $$ $$\Leftrightarrow 7ν=77 $$ $$\Leftrightarrow ν=11$$

Άρα, ο αριθμός \(72\) είναι ο 11ος όρος της προόδου.