ΛΥΣΗ

α) Αφού $(\alpha -1)(1-\beta )>0$, οι $(\alpha -1)$ και $(1-\beta )$ είναι ομόσημοι, οπότε:

$$\{\begin{array}{l}\alpha -1>0\\ \text{και}\\ 1-\beta >0\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}\alpha >1\\ \text{και}\\ \beta <1\end{array}$$ $$\iff \beta <1<\alpha$$

ή

$$\{\begin{array}{l}\alpha -1<0\\ \text{και}\\ 1-\beta <0\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}\alpha <1\\ \text{και}\\ \beta >1\end{array}$$ $$\iff \alpha <1<\beta$$

Σε κάθε περίπτωση το $1$ είναι μεταξύ των $\alpha$ και $\beta$.

β) Διακρίνουμε δυο περιπτώσεις:

1. Αν $\beta <1<\alpha$, τότε:
   $0<\alpha -1\Rightarrow |\alpha -1|=\alpha -1$,
   $0<1-\beta \Rightarrow |1-\beta |=1-\beta$ και
   $\beta -\alpha <0\Rightarrow |\beta -\alpha |=\alpha -\beta$ άρα,
   $|\beta -\alpha |=4\iff \alpha -\beta =4$.
   Οπότε: ${\rm K}=|\alpha -1|+|1-\beta |=\alpha -1+1-\beta =\alpha -\beta =4$.

2. Αν $\alpha <1<\beta$, τότε:
   $\alpha -1<0\Rightarrow |\alpha -1|=1-\alpha$,
   $1-\beta <0\Rightarrow |1-\beta |=\beta -1$ και
   $\beta -\alpha >0\Rightarrow |\beta -\alpha |=\beta -\alpha$ άρα,
   $|\beta -\alpha |=4\iff \beta -\alpha =4$.
   Οπότε: ${\rm K}=|\alpha -1|+|1-\beta |=1-\alpha +\beta -1=\beta -\alpha =4$.