ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο \(3x^{2}-14x+8\) έχει διακρίνουσα:

$$Δ=(-14)^{2}-4\cdot 3\cdot 8$$ $$=196-96=100>0$$

οπότε η εξίσωση \(3x^{2}-14x+8=0\) έχει δυο ρίζες άνισες, τις:

$$x_{1}=\dfrac{-(-14)+\sqrt{100}}{2\cdot 3}$$ $$=\dfrac{14+10}{6}=4$$

και

$$x_{2}=\dfrac{-(-14)-\sqrt{100}}{2\cdot 3}$$ $$=\dfrac{14-10}{6}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$$

Το τριώνυμο \(8x^{2}-14x+3\) έχει διακρίνουσα:

$$Δ=(-14)^{2}-4\cdot 8\cdot 3$$ $$=196-96=100>0$$

οπότε η εξίσωση \(8x^{2}-14x+3=0\) έχει δυο ρίζες άνισες, τις:

$$x_{1}=\dfrac{-(-14)+\sqrt{100}}{2\cdot 8}$$ $$=\dfrac{14+10}{16}=\dfrac{24}{16}=\dfrac{3}{2}$$

και

$$x_{2}=\dfrac{-(-14)-\sqrt{100}}{2\cdot 8}$$ $$=\dfrac{14-10}{16}=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$$

β) Ο αριθμός \(ρ\) είναι ρίζα της εξίσωσης \((3)\) αν και μόνο αν την επαληθεύει, δηλαδή αν και μόνο αν ισχύει:

$$αρ^{2}+βρ+γ=0\ \ \ \ (5)$$

1. Εάν \(ρ=0\), τότε από την σχέση \((5)\) προκύπτει \(γ=0\), που είναι άτοπο, αφού \(α\cdot γ\ne 0\). Άρα \(ρ\ne 0\).

2. Ο \(\dfrac{1}{ρ}\) είναι ρίζα της εξίσωσης \((4)\) αν και μόνο αν

$$γ(\dfrac{1}{ρ})^{2}+β\cdot \dfrac{1}{ρ}+α=0$$ $$\overset{(\cdot ρ^{2})}{ \Longleftrightarrow }γ+βρ+αρ^{2}=0$$

που ισχύει λόγω της σχέσης \((5)\).