α) Πρέπει \(2x-3\ne 0 \Leftrightarrow 2x\ne 3 \Leftrightarrow x\ne \dfrac{3}{2}\).

Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι \(Α_{f}=\big(-\infty ,\frac{3}{2}\big)\cup \big(\frac{3}{2},+\infty\big)\).

β) Παραγοντοποιούμετο τριώνυμο στον αριθμητή του τύπου της συνάρτησης \(f\). Έχουμε:

$$\begin{align} 4x^{2}-2(α+3)x+3α & =4x^{2}-2αx-6x+3α \\ &=2x(2x-α)-3(2x-α)\\ &=(2x-α)(2x-3)\end{align}$$

Άρα:

$$\begin{align} f(x) & =\dfrac{4x^{2}-2(α+3)x+3α}{2x-3}\\ &=\dfrac{(2x-α)(2x-3)}{2x-3}\\ &=2x-α, \text{ για κάθε } x\ne \dfrac{3}{2}\end{align}$$

γ) Η γραφική παράσταση της \(f\) διέρχεται από το σημείο \((1,-1)\), δηλαδή \(f(1)=-1\),οπότε \(2\cdot 1-α=-1\) και τελικά \(α=3\).

δ) Η γραφική παράσταση της \(f(x)=2x-α\) είναι ευθεία, εκτός του σημείου με τετμημένη \(\dfrac{3}{2}\), δηλαδή του σημείου \(\big(\frac{3}{2},3-α\big)\).

• Αν \(α=3\), η ευθεία δεν έχει σημείο τομής με τον \(x'x\) άξονα (το σημείο \(\big(\frac{3}{2},0\big)\) δεν είναι σημείο της γραφικής παράστασης της \(f\)). Τέμνει τον \(y'y\) άξονα στο \((0,-3)\), γιατί \(f(0)=2\cdot 0-α=-α=-3\).

• Αν \(α\ne 3\) :
  Για \(y=0\) έχουμε \(0=2x-α \Leftrightarrow x=\dfrac{α}{2}\) και η γραφική παράσταση της \(f\) τέμνει τον \(x'x\) άξονα στο σημείο \(Α\big(\frac{α}{2},0\big)\).

Για \(x=0\), έχουμε \(y=2\cdot 0-α=-α\) και η γραφική παράσταση της \(f\) τέμνει τον τον \(y'y\) άξονα στο \(Β(0,-α)\).

• Ειδικά στην περίπτωση που \(α=0\), τα παραπάνω σημεία \(Α\) και \(Β\) έχουν συντεταγμένες \((0,0)\), οπότε η γραφική παράσταση της \(f\) είναι ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.