ΛΥΣΗ

α) Έχουμε:

$$(α+β)^{2}=α^{2}+2αβ+β^{2}$$ $$\Leftrightarrow 12^2 = 272 + 2αβ$$ $$\Leftrightarrow 144 = 272 + 2αβ$$ $$\Leftrightarrow αβ = – 64$$

β) Μια εξίσωση που έχει ρίζες τους αριθμούς \(α\), \(β\) είναι η \(x^2 – Sx + P = 0\), όπου \(S = α + β = 12\) και \(Ρ = αβ= – 64\).

Άρα μια εξίσωση που έχει ρίζες τους αριθμούς \(α\), \(β\) είναι η:

$$x^2 – 12x – 64 = 0$$

γ) Το τριώνυμο \(x^2-12x-64\) έχει διακρίνουσα:

$$Δ = (– 12)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (– 64)$$ $$= 144 + 256 = 400 > 0$$

Οι ρίζες της εξίσωσης \(x^2-12x-64=0\) είναι:

\begin{align} α,β &= \dfrac{-(-12)\pm \sqrt{400}}{2 \cdot 1} \\ & =\dfrac{12\pm 20}{2} \\ & =\begin{cases} \dfrac{12+20}{2}=16 \\ \dfrac{12-20}{2}=-4 \end{cases}\end{align}

Άρα \(α = 16\), \(β = -4\) ή \(α = -4\), \(β = 16\).