Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 5388 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 34182 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 01-Νοε-2023 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 34182
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 01-Νοε-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς ΑΒ=3 cm και τυχαίο σημείο Μ που κινείται στη διαγώνιο ΒΔ εσωτερικά (δηλαδή το Μ δεν θα ταυτιστεί με τα άκρα της διαγωνίου).

α) Να εκφράσετε το συνολικό εμβαδόν Ε των σκιασμένων τετραγώνων ΗΒΖΜ και ΘΜΕΔ ως συνάρτηση του x και να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Ε(x).
(Μονάδες 9)

β) Αν το εμβαδόν των σκιασμένων τετραγώνων είναι Ε(x)=2x26x+9, να αποδείξετε ότι Ε(x)92, για κάθε x(0,3).
(Μονάδες 7)

γ) Για ποια θέση του Μ πάνω στη ΒΔ το εμβαδόν Ε(x) γίνεται ελάχιστο, δηλαδή ίσο με 92; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 9)

ΛΥΣΗ

α) Το τετράγωνο ΘΜΕΔ έχει πλευρά x>0    (1).
Το εμβαδόν του Ε1=x2.
Το τετράγωνο ΗΒΖΜ έχει πλευρά (3x)>0x<3    (2).
Το εμβαδόν του είναι Ε2=(3x)2.
Άρα το συνολικό εμβαδόν Ε ως συνάρτηση του x είναι:

Ε(x)=Ε1+Ε2 =x2+(3x)2 =2x26x+9

Από (1) και (2), το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Ε(x) είναι Α=(0,3).

β) Έχουμε:

Ε(x)92 2x26x+992 4x212x+90 (2x3)20

, που ισχύει για κάθε x(0,3).

γ) ‘Έχουμε:

Ε(x)=92 (β)(2x3)2=0 2x3=0 x=32

Το εμβαδόν γίνεται ελάχιστο αν και μόνο αν x=32, δηλαδή αν και μόνο αν το σημείο Ε είναι μέσο της ΔΓ. Στο ΔΒΓ τρίγωνο έχουμε:
Ε μέσο της ΔΓ και ΜΕΒΓ, οπότε και Μ θα είναι μέσο της ΒΔ.