ΛΥΣΗ

α) Ισχύει ότι \(x+y=10 \Leftrightarrow y=10-x\). Εφόσον \(x\) και \(y\) είναι πλευρές τριγώνου, πρέπει:

$$\begin{cases} x>0 \\ y>0 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x>0 \\ 10-x>0 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x>0 \\ x<10 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow 0 < x < 10,\ \ \text{δηλαδή}\ x\in (0,10)$$

Οπότε το εμβαδόν του \(ΑΒΓ\) τριγώνου είναι:
\(Ε=\dfrac{1}{2}\cdot ΑΒ\cdot ΑΓ\), δηλαδή:
\(Ε(x)=\dfrac{1}{2}x(10-x)=\dfrac{1}{2}(-x^{2}+10x)\), με πεδίο ορισμού το διάστημα \((0,10)\).

β) Έχουμε:

$$Ε(x)\le \dfrac{25}{2} $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(-x^{2}+10x)\le \dfrac{25}{2} $$ $$\Leftrightarrow -x^{2}+10x-25\le 0 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-10x+25\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow (x-5)^{2}\ge 0,\ \ \text{που ισχύει για κάθε}\ x\in (0,10)$$

γ) Το εμβαδόν \(Ε(x)\) γίνεται μέγιστο αν και μόνο αν:

$$Ε(x)=\dfrac{25}{2}$$ $$\overset{(β)}{ \Leftrightarrow} (x-5)^{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow x=5$$

Για \(x=5\), είναι και \(y=10-x=10-5=5\), οπότε \(ΑΒ=ΑΓ=5\) και το τρίγωνο \(ΑΒΓ\) είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.