ΛΥΣΗ

α) Η εξίσωση \(x^{2}-2x+λ(2-λ)=0\) έχει ρίζες \(x_{1}\) και \(x_{2}\) με άθροισμα:

$$S=x_{1}+x_{2}=-\dfrac{-2}{1}=2$$

και γινόμενο:

$$P=x_{1}x_{2}=\dfrac{λ(2-λ)}{1}=λ(2-λ)$$

1. H περίμετρος \(Π\) του ορθογωνίου είναι:

   $$Π=2x_{1}+2x_{2}$$ $$=2(x_{1}+x_{2})$$ $$=2\cdot 2=4$$

2. Tο εμβαδόν \(Ε\) του ορθογωνίου ως συνάρτηση του \(λ\) είναι:

   $$Ε=x_{1}x_{2}=λ(2-λ), λ\in (0,2)$$

β) Έχουμε:

$$Ε\le 1 $$ $$\Leftrightarrow λ(2-λ)\le 1 $$ $$\Leftrightarrow λ^{2}-2λ+1\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow (λ-1)^{2}\ge 0$$

που ισχύει για κάθε \(λ\in (0,2)\).

γ) Το εμβαδόν \(Ε\) του ορθογωνίου γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με \(1\), αν και μόνο αν:

$$Ε=1$$ $$\overset{(β)}{ \Leftrightarrow }(λ-1)^{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow λ=1$$

Για \(λ=1\), η περίμετρος του ορθογωνίου είναι \(4\) και το εμβαδόν του \(1\), οπότε το ορθογώνιο γίνεται τετράγωνο πλευράς \(x_{1}=x_{2}=1\).