ΛΥΣΗ

α) Η εφαπτομένη στο σημείο \(Γ\) του κύκλου, η \(ΓΔ\), είναι κάθετη στην ακτίνα \(ΟΓ\), άρα \(\hat{OΓΔ}\) = \(90^0\). Οπότε το τρίγωνο \(ΓΟΔ\) είναι ορθογώνιο.

Είναι \(ΟΑ=ΟΓ\) ως ακτίνες του κύκλου, άρα το τρίγωνο \(ΑΟΓ\) είναι ισοσκελές με βάση την πλευρά \(ΑΓ\), οπότε οι γωνίες οι προσκείμενες στη βάση του \(ΑΓ\) θα είναι ίσες, δηλαδή \(\hat{OΓΑ}\) = \(\hat{OΑΓ}\) = \(30^0\).

Στο τρίγωνο \(ΑΟΓ\) η γωνία \(\hat{ΓΟΔ}\) είναι εξωτερική του, οπότε θα ισούται με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών του, δηλαδή \(\hat{ΓΟΔ} = \hat{OΓΑ} + \hat{OΑΓ} = 30^0 + 30^0 = 60^0\).

β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΓΟΔ\) με ορθή τη γωνιά του \(\hat{OΓΔ}\) (από α) ερώτημα), οι οξείες γωνίες του \(\hat{ΓΟΔ}\) και \(\hat{ΓΔΟ}\) είναι συμπληρωματικές, δηλαδή ισχύει \(\hat{ΓΟΔ} + \hat{ΓΔΟ} = 90^0\). Επειδή είναι \(\hat{ΓΟΔ} = 60^0\), άρα \(\hat{ΓΔΟ} = 90^0 - 60^0\) ή \(\hat{ΓΔΟ} = 30^0\).

γ) Το τρίγωνο \(ΓΟΔ\) είναι ορθογώνιο (από α) ερώτημα) και η γωνία του \(\hat{ΓΔΟ}\) είναι ίση με \(30^0\) (από το β) ερώτημα), οπότε η απέναντι της πλευρά, δηλαδή η \(ΟΓ\) θα είναι ίση με το μισό της υποτείνουσάς του \(ΟΔ\), δηλαδή θα ισχύει \(ΟΓ = \dfrac{ΟΔ}{2}\) ή \(ΟΔ = 2ΟΓ = 2R\), αφού η \(ΟΓ\) είναι ακτίνα του κύκλου.