Θέμα: 34317

Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Πηγή: Ι.Ε.Π.	Αναγνώσθηκε: 3758 φορές Επικοινωνία
Μάθημα:	Άλγεβρα	Τάξη:	Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος:	34317	Θέμα:	4
Τελευταία Ενημέρωση:	05-Νοε-2023	Ύλη:	4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	34317
Ύλη:	4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 05-Νοε-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)

Αρχείο Εκφώνησης (PDF) Αρχείο Εκφώνησης (DOC)

ΘΕΜΑ 4

Το ποσό που θα πληρώσει (σε ευρώ) ένας κάτοικος μιας πόλης $Α$ ο οποίος καταναλώνει $x$ κυβικά μέτρα νερού σε ένα χρόνο, δίνεται από τη συνάρτηση:

$$f(x)=\begin{cases} 0,5x+12, &\text{αν}\ 0\le x\le 30 \\ 0,7x+6, &\text{αν}\ x>30 \end{cases}$$

α) Να βρείτε πόσα ευρώ θα πληρώσει κάποιος αν:

έλλειπε από το σπίτι του και δεν έχει καταναλώσει καθόλου νερό,
(Μονάδες 2)
έχει καταναλώσει $10$ κυβικά μέτρα νερού,
(Μονάδες 3)
έχει καταναλώσει $50$ κυβικά μέτρα νερού.
(Μονάδες 5)

β) Σε μια άλλη πόλη $Β$, το ποσό (σε ευρώ) που αντιστοιχεί σε κατανάλωση $x$ κυβικών μέτρων δίνεται από τον τύπο:

$$g(x)=12+0,6x,\ \text{για}\ x\ge 0$$

Ένας κάτοικος της πόλης $Α$ και ένας κάτοικος της πόλης $Β$ κατανάλωσαν τα ίδια κυβικά μέτρα νερού. Αν ο κάτοικος της πόλης $Α$ πλήρωσε μεγαλύτερο ποσό στο λογαριασμό του από τον κάτοικο της πόλης $Β$, να αποδείξετε ότι ο κάθε ένας από τους δύο κατανάλωσε περισσότερα από $60$ κυβικά μέτρα νερού.
(Μονάδες 15)

Εμφάνιση Απάντησης

Αρχείο Απάντησης (PDF) Αρχείο Απάντησης (DOC)

ΛΥΣΗ

α)

Αν κάποιος λείπει από το σπίτι του έχει καταναλώσει $x=0$ κυβικά μέτρα νερού. Επειδή $0\in [0,30]$ θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο $f(x)=12+0,5x$, οπότε το ποσό που θα πληρώσει είναι:

$$f(0)=12+0,5\cdot 0=12\ \text{ευρώ}$$

Επειδή $10\in [0,30]$ θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο $f(x)=12+0,5x$, οπότε το ποσό που θα πληρώσει είναι:

$$f(10)=12+0,5\cdot 10=12+5=17\ \text{ευρώ}$$

Επειδή $50\in (30,+\infty)$ θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο $f(x)=0,7x+6$, οπότε το ποσό που θα πληρώσει είναι:

$$f(50)=0,7\cdot 50+6=35+6=41\ \text{ευρώ}$$

β) Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

Ο κάτοικος της πόλης $Α$ κατανάλωσε $x$ κυβικά μέτρα νερού με $x\in [0,30]$. Επειδή ο κάτοικος της πόλης $Α$ πλήρωσε μεγαλύτερο λογαριασμό, θα ισχύει:

$$f(x)>g(x) $$ $$\Leftrightarrow 12+0,5x>12+0,6x $$ $$\Leftrightarrow 12-12>0,6x-0,5x $$ $$\Leftrightarrow 0>0,1x $$ $$\Leftrightarrow x < 0$$

Άτοπο διότι $x\in [0,30]$.

Επομένως ο κάτοικος της πόλης $Α$ δεν μπορεί να κατανάλωσε από $0$ έως $30$ κυβικά μέτρα νερού.
Ο κάτοικος της πόλης $Α$ κατανάλωσε $x$ κυβικά μέτρα νερού, με $x\in (30,+\infty)$, Επειδή ο κάτοικος της πόλης $Α$ πλήρωσε μεγαλύτερο λογαριασμό, θα ισχύει:

$$f(x)>g(x) $$ $$\Leftrightarrow 0,7x+6>12+0,6x $$ $$\Leftrightarrow 0,7x-0,6x>12-6 $$ $$\Leftrightarrow 0,1x>60 $$ $$\Leftrightarrow x>60$$

Επομένως, τόσο ο κάτοικος της πόλης $Α$ όσο και αυτός της πόλης $Β$ κατανάλωσαν περισσότερα από $60$ κυβικά μέτρα νερού.