ΛΥΣΗ

α) Αντικαθιστούμε στην δοθείσα ισότητα \(x=-5\) και βρίσκουμε:

$$λ=(2\cdot (-5)+5)^{2}-8\cdot (-5)$$ $$=(-10+5)^{2}+40$$ $$=(-5)^{2}+40$$ $$=25+40=65$$

β) Αντικαθιστούμε στην δοθείσα ισότητα \(λ=20\) και έχουμε:

$$20=(2x+5)^{2}-8x$$

ή ισοδύναμα:

$$20=4x^{2}+20x+25-8x$$

και τελικά:

$$4x^{2}+12x+5=0$$

Το τριώνυμο \(4x^{2}+12x+5\) έχει διακρίνουσα:

$$Δ=12^{2}-4\cdot 4\cdot 5$$ $$=144-80=64>0$$

και ρίζες:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-12\pm \sqrt{64}}{2\cdot 4}$$ $$=\dfrac{-12\pm 8}{8}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{-12+8}{8}=-\dfrac{1}{2} \\ \\ \dfrac{-12-8}{6}=-\dfrac{5}{2} \end{cases}$$

γ)

1. Η σχέση \((1)\) ισοδύναμα γράφεται:

   $$λ=(2x+5)^{2}-8x $$ $$\Leftrightarrow λ=4x^{2}+20x+25-8x $$ $$\Leftrightarrow 4x^{2}+12x+(25-λ)=0\ \ \ \ (2)$$

2. Για να μπορεί ο εξαγόμενος αριθμός \(λ\) να είναι \(5\), με βάση τη σχέση \((2)\) θα πρέπει να υπάρχει \(x\) τέτοιος ώστε:

   $$4x^{2}+12x+(25-5)=0 $$ $$\Leftrightarrow 4x^{2}+12x+20=0 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+3x+5=0$$

   Το τριώνυμο \(x^{2}+3x+5\) έχει διακρίνουσα \(Δ=3^{2}-4\cdot 1\cdot 5=9-20=-11<0\). Άρα, η τελευταία εξίσωση είναι αδύνατη. Οπότε, για καμία τιμή του \(x\) δεν μπορεί ο εξαγόμενος αριθμός \(λ\) να είναι \(5\).

3. Οι δυνατές τιμές που μπορεί να έχει ο αριθμός \(λ\), είναι αυτές για τις οποίες η εξίσωση \((2)\) έχει πραγματικές ρίζες. Αυτό ισχύει αν και μόνο αν \(Δ\ge 0\) όπου \(Δ\) η διακρίνουσα του τριωνύμου \(4x^{2}+12x+(25-λ)\). Οπότε, ισοδύναμα έχουμε ότι:

$$ Δ\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow 12^{2}-4\cdot 4\cdot (25-λ)\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow 144-400+16λ\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow 16λ\ge 256 $$ $$\Leftrightarrow λ\ge 16$$