ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο \(x^{2}-x+(λ-λ^{2})\) έχει \(α=1\), \(β=-1\), \(γ=λ-λ^{2}\) και διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot (λ-λ^{2})$$ $$=1-4λ+4λ^{2}$$ $$=(1-2λ)^{2}\ge 0,\ \ \text{για κάθε}\ λ\in \mathbb{R}$$

Επειδή \(Δ\ge 0\), για κάθε \(λ\in \mathbb{R}\), η εξίσωση \(x^{2}-x+λ-λ^{2}\) = 0 έχει πραγματικές ρίζες.

β) Η εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες αν και μόνο αν:

$$Δ>0 $$ $$\Leftrightarrow (1-2λ)^{2}>0 $$ $$\Leftrightarrow 1-2λ\ne 0 $$ $$\Leftrightarrow λ\ne \dfrac{1}{2}$$

γ) Οι ρίζες της εξίσωσης \((1)\) είναι οι:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(1-2λ)^{2}}}{2}$$ $$=\dfrac{1\pm (1-2λ)}{2}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{1+1-2λ}{2}=1-λ \\ \dfrac{1-1+2λ}{2}=λ \end{cases}$$

Έχουμε ότι:

$$0 < d(x_{1}, x_{2}) < 2 $$ $$\Leftrightarrow 0 < |x_{1}-x_{2}| < 2 $$ $$\Leftrightarrow 0 < |1-λ-λ| < 2 $$ $$\Leftrightarrow 0 < |1-2λ| < 2 $$

Δηλαδή:

$$0<|1-2λ| $$ $$\Leftrightarrow 1-2λ\ne 0 $$ $$\Leftrightarrow 2λ\ne \dfrac{1}{2} $$ $$\Leftrightarrow λ\ne \dfrac{1}{2}$$

και:

$$|1-2λ|<2 $$ $$\Leftrightarrow -2<1-2λ<2 $$ $$\Leftrightarrow -3<-2λ<1 $$ $$\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}<λ<\dfrac{3}{2}$$

Οπότε, τελικά:

$$λ\in (-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})\cup (\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2})$$