ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο \(x^{2}-3x-4\) έχει \(α=1\), \(β=-3\), \(γ=-4\) και διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-3)^{2}-4\cdot 1\cdot (-4)$$ $$=9+16=25>0$$

Οι ρίζες της εξίσωσης \((1)\) είναι:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-(-3)\pm \sqrt{25}}{2\cdot 1}$$ $$=\dfrac{3\pm 5}{2}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{3+5}{2}=4 \\ \\ \dfrac{3-5}{2}=-1 \end{cases}$$

β)

1. Ο αριθμός \(\dfrac{α}{β}\) είναι λύση της εξίσωσης \((1)\) αν και μόνο αν την επαληθεύει, δηλαδή αν και μόνο αν ισχύει:

   $$(\dfrac{α}{β})^{2}-3\dfrac{α}{β}-4=0 $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{α^{2}}{β^{2}}-3\dfrac{α}{β}-4=0 $$ $$\overset{β \ne 0}{\Leftrightarrow} α^{2}-3αβ-4β^{2}=0$$

   το οποίο ισχύει από την υπόθεση.

2. Στο ερώτημα α) βρήκαμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης \((1)\) είναι οι \(x_{1}=4\) και \(x_{2}=-1\).

   Επίσης, στο ερώτημα (βi) δείξαμε ότι ο αριθμός \(\dfrac{α}{β}\) είναι λύση της εξίσωσης \((1)\). Οπότε, πρέπει:

   $$\dfrac{α}{β}=4\ \ \text{ή}\ \ \dfrac{α}{β}=-1$$

   Επειδή οι \(α\), \(β\) είναι ομόσημοι, η περίπτωση \(\dfrac{α}{β}=-1\) απορρίπτεται. Άρα, ισχύει:

   $$\dfrac{α}{β}=4 $$ $$\Leftrightarrow α=4β$$

   δηλαδή, ο \(α\) είναι τετραπλάσιος του \(β\).