ΛΥΣΗ

α)

1. Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι \(Π=2κ+2λ\), οπότε:

$$2κ+2λ=14 $$ $$\Leftrightarrow κ+λ=7$$

Επίσης, εφαρμόζοντας το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο \(ΑΒΔ\) βρίσκουμε ότι

$$κ^{2}+λ^{2}=δ^{2} $$ $$\Leftrightarrow κ^{2}+λ^{2}=25$$

Από την ταυτότητα \((κ+λ)^{2}=κ^{2}+2κλ+λ^{2}\), έχουμε ότι:

$$7^{2}=25+2κλ $$ $$\Leftrightarrow 2κλ=49-25 $$ $$\Leftrightarrow κλ=12$$

Άρα, το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι \(Ε=κλ=12\ cm\).

2. Δύο αριθμοί είναι ρίζες της εξίσωσης \(x^{2}-7x+12=0\) αν και μόνο αν έχουν άθροισμα \(S=-\dfrac{β}{α}=-\dfrac{(-7)}{1}=7\) και γινόμενο \(P=\dfrac{γ}{α}=\dfrac{12}{1}=12\). Από το ερώτημα αi) προκύπτει ότι οι διαστάσεις \(κ\) και \(λ\) ικανοποιούν τις συνθήκες αυτές, οπότε είναι ρίζες της εξίσωσης.

3. Το τριώνυμο \(x^{2}-7x+12\) έχει διακρίνουσα

$$Δ=(-7)^{2}-4\cdot 1\cdot 12$$ $$=49-48=1$$

και ρίζες

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-(-7)\pm \sqrt{1}}{2\cdot 1}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{7+1}{2}=4 \\ \dfrac{7-1}{2}=3 \end{cases}$$

Άρα, οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι \(3\ cm\) και \(4\ cm\).

β) Όπως και στο ερώτημα α), oι διαστάσεις ενός ορθογωνίου με περίμετρο \(Π=14\) και εμβαδόν \(Ε\) έχουν άθροισμα \(S=7\) και γινόμενο \(P=Ε\). Άρα, είναι ρίζες της εξίσωσης

$$x^{2}-7x+E=0$$

Η εξίσωση έχει λύσεις, δηλαδή υπάρχει τέτοιο ορθογώνιο, αν και μόνο αν για τη διακρίνουσα ισχύει

$$Δ\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow (-7)^{2}-4\cdot 1\cdot Ε\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow 49-4Ε\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow Ε\le \dfrac{49}{4}$$