α) Η \(ΜΝ\) είναι διάμεσος στο ισοσκελές τραπέζιο \(ΑΒΓΔ\), οπότε η \(ΜΝ\) θα ισούται με το ημιάθροισμα των βάσεων \(ΑΒ\) και \(ΓΔ\) του τραπεζίου, δηλαδή

$$ΜΝ = \dfrac{ΑΒ+ΓΔ}{2}, \ \ \ \ (1)$$

Η σχέση \((1)\) με βάση τα δεδομένα γίνεται:

$$x + 4 = \dfrac{3x+2+x+2}{2}$$ $$\Leftrightarrow x + 4 = \dfrac{4x+4}{2}$$ $$\Leftrightarrow x + 4 = 2x + 2$$ $$\Leftrightarrow x = 2$$

β) Για τις γωνίες του τραπεζίου \(ΑΒΓΔ\) ισχύει \(\hat{Α}+\hat{Β}+\hat{Γ}+\hat{Δ} = 360^ο\).
Αφού το τραπέζιο \(ΑΒΓΔ\) είναι ισοσκελές, τότε οι γωνίες οι προσκείμενες στις βάσεις του \(ΑΒ\) και \(ΓΔ\) θα είναι ίσες, δηλαδή \(\hat{A}= \hat{B}\) και \(\hat{Γ} =\hat{Δ}\).

Οπότε η σχέση του αθροίσματος των γωνιών του τραπεζίου \(ΑΒΓΔ\) γίνεται:

$$2\hat{Β}+ 2\hat{Γ} = 360^ο$$ $$\Leftrightarrow \hat{Β}+\hat{Γ} = 180^ο$$

και αφού από την υπόθεση είναι \(\hat{Β}=2\hat{Γ}\) τότε

$$2\hat{Γ} +\hat{Γ} = 180^ο$$ $$\Leftrightarrow 3\hat{Γ} = 180ο$$ $$\Leftrightarrow \hat{Γ} = 60^ο.$$

Όμως είναι \(\hat{Γ} =\hat{Δ}\), άρα θα είναι και \(\hat{Δ}= 60^ο.\)
Αφού από την υπόθεση ισχύει ότι \(\hat{Β} = 2\hat{Γ}\), τότε θα είναι \(\hat{Β} =2\cdot 60^ο = 120^ο.\)

Όμως \(\hat{Α} =\hat{Β}\), οπότε θα είναι \(\hat{Α} =120^ο.\)