ΛΥΣΗ

α) Είναι:

$${\alpha }^2\beta +\alpha {\beta }^2=20$$ $$\iff \alpha \beta (\alpha +\beta )=20$$ $$\iff 4(\alpha +\beta )=20$$ $$\iff \alpha +\beta =5$$

β) Η ζητούμενη εξίσωση είναι της μορφής:

$$x^2-Sx+P=0$$

με:

$$S=\alpha +\beta =5\text{και}P=\alpha \cdot \beta =4$$

Τελικά η ζητούμενη εξίσωση είναι η:

$$x^2-5x+4=0$$

Το τριώνυμο $x^2-5x+4$ έχει $\alpha =1$, $\beta =-5$, $\gamma =4$ και διακρίνουσα:

$$\Delta ={\beta }^2-4\alpha \gamma$$ $$=(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 4$$ $$=25-16=9>0$$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$$x_{\text{1,2}}={\displaystyle \frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta }}{2\alpha }}$$ $$={\displaystyle \frac{-(-5)\pm \sqrt{9}}{2\cdot 1}}$$ $$={\displaystyle \frac{5\pm 3}{2}}$$ $$=\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{5+3}{2}}=4\\ {\displaystyle \frac{5-3}{2}}=1\end{array}$$