ΛΥΣΗ

α) Οι αριθμοί \(x+4\), \(2-x\), \(6-x\), είναι με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν:

$$(2-x)^{2}=(6-x)\cdot (x+4) $$ $$\Leftrightarrow 4-4x+x^{2}=6x+24-x^{2}-4x $$ $$\Leftrightarrow 2x^{2}-6x-20=0 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-3x-10=0\ \ \ \ (1)$$

Η εξίσωση έχει διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-3)^{2}-4\cdot 1\cdot (-10)$$ $$=9+40=49>0$$

Άρα η εξίσωση \((1)\) έχει ρίζες τις:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$ $$=\dfrac{-(-3)\pm \sqrt{49}}{2\cdot 1}$$ $$=\dfrac{3\pm 7}{2}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{3+7}{2}=5 \\ \dfrac{3-7}{2}=-2 \end{cases}$$

β) Για \(x=5\):

$$α_{4}=6-x=1$$ $$α_{3}=2-x=-3$$ $$α_{2}=x+4=9$$

Ο λόγος είναι \(λ=\dfrac{α_{4}}{α_{3}}=-\dfrac{1}{3}\).

Είναι:

$$α_{2}=α_{1}λ^{2-1} $$ $$\Leftrightarrow 9=α_{1}(-\dfrac{1}{3}) $$ $$\Leftrightarrow α_{1}=-27$$