ΛΥΣΗ

α) Οι αριθμοί \(x\), \(2x+1\), \(5x+4\) είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν:

$$(2x+1)^{2}=x\cdot (5x+4) $$ $$\Leftrightarrow 4x^{2}+4x+1=5x^{2}+4x $$ $$\Leftrightarrow x^{2}=1 $$ $$\Leftrightarrow (x=-1\ \ \text{ή}\ \ x=1)$$

β)
i. Για \(x=1\) οι δοσμένοι αριθμοί γράφονται:

$$1, 3, 9$$

Ο λόγος \(λ\) είναι:

$$λ=\dfrac{3}{1}=3$$

ii. Για \(x=-1\) οι δοσμένοι αριθμοί γράφονται:

$$-1,-1,-1$$

Ο λόγος \(λ\) είναι:

$$λ=\dfrac{-1}{-1}=1$$