ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο $2x^2-3x-2$ έχει $\alpha =2$, $\beta =-3$, $\gamma =-2$ και διακρίνουσα:

$$\Delta ={\beta }^2-4\alpha \gamma$$ $$=(-3{)}^2-4\cdot 2\cdot (-2)$$ $$=9+16=25>0$$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$$x_{\text{1,2}}={\displaystyle \frac{-\beta \pm \sqrt{{\beta }^2-4\alpha \gamma }}{2\alpha }}$$ $$={\displaystyle \frac{-(-3)\pm \sqrt{25}}{2\cdot 2}}$$ $$={\displaystyle \frac{3\pm 5}{4}}=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{3+5}{4}}& =2\\ {\displaystyle \frac{3-5}{4}}& =-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

Τότε:

$$2x^2-3x-2=2(x-(-{\displaystyle \frac{1}{2}}))(x-2)$$ $$=(2x+1)(x-2)$$

β) Για να έχει νόημα πραγματικού αριθμού η παράσταση ${\rm K}$ πρέπει ο παρονομαστής της να είναι διαφορετικός του μηδενός. Δηλαδή:

$$2x^2-3x-2\ne 0$$ $$\stackrel{\alpha )}{\iff }(2x+1)(x-2)\ne 0$$ $$\iff (2x+1\ne 0\text{και}x-2\ne 0)$$ $$\iff (x\ne -{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{και}x\ne 2)$$

γ) Για $x\ne -{\displaystyle \frac{1}{2}}$ και $x\ne 2$ ισχύει ότι:

$${\rm K}={\displaystyle \frac{x^2-4x+4}{2x^2-3x-2}}$$ $$={\displaystyle \frac{(x-2{)}^2}{(2x+1)(x-2)}}$$ $$={\displaystyle \frac{x-2}{2x+1}}$$