Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 4792 φορές Επικοινωνία | |
---|---|---|---|---|
Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
Κωδικός Θέματος: | 35724 | Θέμα: | 4 | |
Τελευταία Ενημέρωση: | 06-Νοε-2023 | Ύλη: | 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού | |
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) |
Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
---|---|---|---|
Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
Θέμα: | 4 | ||
Κωδικός Θέματος: | 35724 | ||
Ύλη: | 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού | ||
Τελευταία Ενημέρωση: 06-Νοε-2023 | |||
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) |
ΘΕΜΑ 4
Για μια επαγγελματική κάρτα επιλέγεται τετράγωνο χαρτόνι πλευράς \(x\ cm\) \((5\le x\le 10)\) στο οποίο η περιοχή τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων (με κίτρινο χρώμα στο παρακάτω σχήμα) περιβάλλεται από περιθώρια \(2\ cm\) στο πάνω και στο κάτω μέρος της και \(1\ cm\) δεξιά και αριστερά.
![](https://trapeza.z6.web.core.windows.net/35724-picture-01.png)
α) Να δείξετε ότι το εμβαδόν \(Ε\) της περιοχής τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων εκφράζεται από τη συνάρτηση:
$$Ε(x)=(x-2)(x-4),\ 5\le x\le 10$$
(Μονάδες 8)
β) Να βρείτε την τιμή του \(x\), ώστε το εμβαδόν \(Ε\) της περιοχής τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων να είναι \(35\ cm^{2}\).
(Μονάδες 7)
γ) Να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει η πλευρά \(x\) του τετραγώνου, αν η περιοχή τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων έχει εμβαδόν τουλάχιστον \(24\ cm^{2}\).
(Μονάδες 10)
ΛΥΣΗ
α) Η περιοχή τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων είναι ορθογώνιο με διαστάσεις:
$$x-(1+1)=x-2$$
και
$$x-(2+2)=x-4$$
Επομένως το εμβαδόν της \(Ε\) εκφράζεται από τη συνάρτηση:
$$Ε(x)=(x-2)(x-4),\ 5\le x\le 10$$
β) Έχουμε ισοδύναμα:
$$Ε(x)=35$$ $$\Rightarrow (x-2)(x-4)=35$$ $$\Rightarrow x^{2}-6x+8=35$$ $$\Rightarrow x^{2}-6x-27=0\ \ \ \ (1)$$
Το τριώνυμο \(x^{2}-6x-27\) έχει διακρίνουσα:
$$Δ=(-6)^{2}-4\cdot 1\cdot (-27)=144>0$$
και συνεπώς η εξίσωση \((1)\) έχει ρίζες τις:
$$x_{1}=\dfrac{-(-6)-12}{2}=\dfrac{-6}{2}=-3$$
και
$$x_{2}=\dfrac{-(-6)+12}{2}=\dfrac{18}{2}=9$$
Επειδή \(5\le x\le 10\), δεκτή είναι η λύση \(x=9\).
Άρα σε ένα τετράγωνο χαρτόνι πλευράς \(9\ cm\), η περιοχή εκτύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων έχει εμβαδόν \(35\ cm^{2}\).
γ) Η περιοχή τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων έχει εμβαδόν τουλάχιστον \(24\ cm^{2}\), δηλαδή \(Ε(x)\ge 24\). Έχουμε ισοδύναμα:
$$(x-2)(x-4)\ge 24,\ \text{οπότε}$$ $$x^{2}-6x-16\ge 0\ \ \ \ (2)$$
Το τριώνυμο \(x^{2}-6x-16\) έχει διακρίνουσα \(Δ=(-6)^{2}-4\cdot 1\cdot (-16)=100>0\) και ρίζες:
$$x_{1}=\dfrac{-(-6)-10}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2$$
και
$$x_{2}=\dfrac{-(-6)+10}{2}=\dfrac{16}{2}=8$$
Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.
![](https://trapeza.z6.web.core.windows.net/35724-picture-02.png)
Άρα η \((2)\) αληθεύει για \(x\le -2\) ή \(x\ge 8\). Επίσης \(5\le x\le 10\), οπότε με χρήση του άξονα των πραγματικών αριθμών
![](https://trapeza.z6.web.core.windows.net/35724-picture-03.png)
παρατηρούμε ότι οι κοινές λύσεις των ανισώσεων είναι: \(8\le x\le 10\).
Άρα για \(x\in [8,10]\), η περιοχή τύπωσης των επαγγελματικών στοιχείων έχει εμβαδόν τουλάχιστον \(24\ cm^{2}\).