ΛΥΣΗ

Ο πρώτος επιβάτης που θα αγοράσει εισιτήριο θα πληρώσει \(3\ \text{€}\) και κάθε επόμενος επιβάτης θα πληρώνει \(0,5\ \text{€}\) περισσότερο από τον προηγούμενο.

α) Ο δεύτερος επιβάτης θα πληρώσει \(3+0,5=3,5\ \text{€}\), ο τρίτος θα πληρώσει \(3,5+0,5=4\ \text{€}\) και ο τέταρτος θα πληρώσει \(4+0,5=4,5\ \text{€}\).

β) Δεδομένου ότι ο πρώτος επιβάτης που θα αγοράσει εισιτήριο θα πληρώσει \(3\ \text{€}\) και κάθε επόμενος επιβάτης θα πληρώνει \(0,5\ \text{€}\) περισσότερο από τον προηγούμενο, οι αριθμοί \(α_{1},α_{2},...,α_{51}\) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με \(α_{1}=3\) και \(ω=0,5\).

γ) Ο \(51ος\) επιβάτης θα πληρώσει \(α_{51}=3+(51-1)\cdot 0,5=28\ \text{€}\).

δ) Ζητάμε την μικρότερη τιμή του φυσικού αριθμού \(ν\) ώστε \(S_{ν}>30\cdot 21\). Είναι:

$$S_{ν}>30\cdot 21 $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{ν}{2}[2\cdot 3+(ν-1)\cdot 0,5]>630$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{ν}{2}\left(6+\dfrac{ν-1}{2}\right)>630 $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{ν}{2}\left(\dfrac{12+ν-1}{2}\right)>630$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{ν(ν+11)}{4}>630 $$ $$\Leftrightarrow ν^{2}+11ν-2520>0\ \ \ \ (1)$$

Το τριώνυμο \(ν^{2}+11ν-2520>0\) έχει διακρίνουσα:

$$Δ=11^{2}-4(-2520)=10201$$

και ρίζες τους αριθμούς \(ν=45\), \(ν=-56\) που απορρίπτεται.

Επομένως η ανίσωση \((1)\) έχει λύση κάθε θετικό ακέραιο \(ν\) με \(ν>45\), οπότε για να συμφέρει η προσφορά πρέπει να πουληθούν τουλάχιστον \(46\) εισιτήρια.