ΛΥΣΗ

α) H συνάρτηση ορίζεται μόνο όταν:

$$9-x^{2}>0 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}<9 $$ $$\Leftrightarrow |x|<3 $$ $$\Leftrightarrow -3 < x < 3 $$

Άρα, \(A_{f}=(-3,3)\).

β) Η \(C_{f}\) τέμνει τον άξονα \(x'x\) μόνο όταν για κάποιο \(x\in A_{f}\) ισχύει \(f(x)=0\). Είναι:

$$f(x)=0 $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{x+2}{\sqrt{9-x^{2}}}=0 $$ $$\Leftrightarrow x+2=0 $$ $$\Leftrightarrow x=-2$$

Επομένως η \(C_{f}\) τέμνει τον άξονα \(x'x\) στο σημείο \(A(-2,0)\).

Επίσης έχουμε:

$$f(0)=\dfrac{0+2}{\sqrt{9-0}}=\dfrac{2}{3}$$

Άρα η \(C_{f}\) τέμνει τον άξονα \(y'y\) στο σημείο \(B(0,\dfrac{2}{3})\).

γ) Έστω \((ε):y=αx+β\) η εξίσωση της ζητούμενης ευθείας. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α, Β είναι:

$$α=\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}$$ $$=\dfrac{\dfrac{2}{3}-0}{0-(-2)}$$ $$=\dfrac{\dfrac{2}{3}}{2}=\dfrac{1}{3}$$

Άρα η εξίσωση της ευθείας γράφεται:

$$(ε):y=\dfrac{1}{3}x+β$$

Επιπλέον η ευθεία διέρχεται από το σημείο \(Α(-2,0)\), οπότε οι συντεταγμένες του Α την επαληθεύουν. Έτσι, έχουμε:

$$0=\dfrac{1}{3}(-2)+β $$ $$\Leftrightarrow β-\dfrac{2}{3}=0 $$ $$\Leftrightarrow β=\dfrac{2}{3}$$

Επομένως η εξίσωση της ευθείας είναι \((ε):y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}\).