ΛΥΣΗ

α) Οι αποστάσεις \((α_{i}),i=1,2,3,...,20\) των κυψελών \(K_{1},K_{2},K_{3},K_{4},...,K_{20}\) από την αποθήκη \(Α\) διαφέρουν πάντα κατά τον σταθερό αριθμό \(3\). Αποτελούν επομένως διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο \(α_{1}=1\) (η απόσταση της κυψέλης \(Κ_{1}\) από την αποθήκη \(Α\)) και διαφορά \(ω=3\) (η απόσταση δύο διπλανών κυψελών). Ο ν-οστός όρος της προόδου είναι:

$$α_{ν}=α_{1}+(ν-1)ω$$ $$=1+(ν-1)3$$ $$=3ν-2$$

β) Αναζητούμε τον όρο \(α_{20}\). Είναι:

$$α_{20}=3\cdot 20-2=58\ m$$

γ)

1. Η διαδρομές που θα κάνει ο μελισσοκόμος είναι:

   $$Α\rightarrow Κ_{1}\rightarrow Α$$ $$ Α\rightarrow Κ_{2}\rightarrow Α$$ $$Α\rightarrow Κ_{3}\rightarrow Α$$

   Άρα θα διανύσει απόσταση:

   $$(1+1)+(4+4)+(7+7)=24\ \text{μέτρα}$$

2. Εφόσον πρέπει να πάει και να γυρίσει σε κάθε κυψέλη, η συνολική απόσταση για να συλλέξει το μέλι από όλες τις κυψέλες είναι:

   $$(1+1)+(4+4)+(7+7)+...+(58+58)=$$ $$(1+4+7+...+58)+(1+4+7+...+58)=2S_{20}$$

   Τελικά η ζητούμενη συνολική απόσταση είναι:

   $$2S_{20}=2\cdot \dfrac{20}{2}(α_{1}+α_{20})$$ $$=20(1+58)$$ $$=20\cdot 59$$ $$=1.180\ \text{μέτρα}$$