ΛΥΣΗ

α) Tο εμβαδόν που καλύπτει κάθε πλακάκι τύπου \(Α\) είναι \(E_{A}=d^{2}\ cm^{2}\).

Tο εμβαδόν που καλύπτει κάθε πλακάκι τύπου \(Β\) είναι \(E_{B}=(d+1)^{2}\ cm^{2}\).

β)

1. Αν το εμβαδόν της επιφάνειας είναι \(Ε\), τότε ισχύει:

   $$E=200d^{2}$$

   και:

   $$E=128(d+1)^{2}$$

   οπότε έχουμε:

   $$200d^{2}=128(d+1)^{2} $$ $$\Leftrightarrow 25d^{2}=16(d+1)^{2}$$ $$\Leftrightarrow 25d^{2}=16(d^{2}+2d+1) $$ $$\Leftrightarrow 25d^{2}=16d^{2}+32d+16$$ $$\Leftrightarrow 9d^{2}-32d-16=0$$

   Η τελευταία εξίσωση έχει διακρίνουσα:

   $$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-32)^{2}-4\cdot 9\cdot (-16)$$ $$=1024+576$$ $$=1600=40^{2}$$

   και ρίζες τους αριθμούς \(d_{1}=4\) και \(d_{2}=-\dfrac{4}{9}\). Η λύση \(d_{2}=-\dfrac{4}{9}\) απορρίπτεται, αφού το μήκος της πλευράς είναι θετικός αριθμός. Άρα \(d=4\), οπότε κάθε πλακάκι τύπου \(Α\) έχει πλευρά \(4\) και κάθε πλακάκι τύπου \(Β\) έχει πλευρά \(5\).

2. Είναι:

   $$E=200d^{2}$$ $$=200\cdot 4^{2}$$ $$=200\cdot 16$$ $$=3.200\ cm^{2}$$