ΛΥΣΗ

α) Είναι:

$$2\le |x|\le 3 \Leftrightarrow $$ $$2\le |x|\ \ \ \ (1)$$ $$\text{και}\ |x|\le 3\ \ \ \ (2)$$

Από την ανίσωση \((1)\) βρίσκουμε:

$$2\le |x| $$ $$\Leftrightarrow x\ge 2\ \text{ή}\ x\le -2\ \ \ \ (3)$$

Από την ανίσωση \((2)\) βρίσκουμε:

$$|x|\le 3 $$ $$\Leftrightarrow -3\le x\le 3\ \ \ \ (4)$$

Παριστάνουμε τις λύσεις των ανισώσεων \((3)\) και \((4)\) στον ίδιο άξονα αριθμών και όπως φαίνεται από το σχήμα
που ακολουθεί:

Οι κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων είναι: \(x\in [-3,-2]\cup [2,3]\ \ \ \ (5)\).

Το τριώνυμο \(x^{2}-4x\) έχει ρίζες τις \(0\) και \(4\) αφού:

$$x^{2}-4x=0 $$ $$\Leftrightarrow x(x-4)-0 $$ $$\Leftrightarrow x=0\ \text{ή}\ x=4$$

Το πρόσημο του τριωνύμου \(x^{2}-4x\) φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Επομένως ισχύει: \(x^{2}-4x < 0 \Leftrightarrow x\in (0,4)\ \ \ \ (6)\)

β) Παριστάνουμε τις λύσεις των ανισώσεων \((5)\) και \((6)\) στον ίδιο άξονα αριθμών και όπως φαίνεται από το σχήμα που ακολουθεί:

οι κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων είναι: \(x\in [2,3]\)

γ) Επειδή \(ρ_{1}, ρ_{2}\in [2,3]\) ισχύει ότι:

$$2\le ρ_{1}\le 3\ \ \ \ (7)$$ $$\text{και}\ 2\le ρ_{2}\le 3\ \ \ \ (8)$$

Προσθέτουμε κατά μέλη τις ανισώσεις \((7)\) και \((8)\) και βρίσκουμε:

$$2+2\le ρ_{1}+ρ_{2}\le 3+3 $$ $$\Leftrightarrow 4\le ρ_{1}+ρ_{2}\le 6 $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{4}{2}\le \dfrac{ρ_{1}+ρ_{2}}{2}\le \dfrac{6}{2} $$ $$\Leftrightarrow 2\le \dfrac{ρ_{1}+ρ_{2}}{2}\le 3$$

Άρα \(\dfrac{ρ_{1}+ρ_{2}}{2}\in [2,3]\), οπότε και ο αριθμός \(\dfrac{ρ_{1}+ρ_{2}}{2}\) είναι κοινή τους λύση.

Σημείωση: Ο αριθμός \(\dfrac{ρ_{1}+ρ_{2}}{2}\) εκφράζει το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα σημεία που αντιστοιχούν στους αριθμούς \(ρ_{1},ρ_{2}\) στον άξονα των πραγματικών αριθμών.