ΛΥΣΗ

α) $|x-5|=d(x,5)=({\rm M}{\rm A})$, δηλαδή εκφράζει την απόσταση του σημείου ${\rm M}$ από το σημείο ${\rm A}$.

$|x-9|=d(x,9)=({\rm M}{\rm B})$, δηλαδή εκφράζει την απόσταση του σημείου ${\rm M}$ από το σημείο ${\rm B}$.

β)

1. Από την ισότητα $|x-5|=|x-9|$ συμπεραίνουμε ότι $({\rm M}{\rm A})=({\rm M}{\rm B})$, δηλαδή το σημείο ${\rm M}$ είναι το μέσο του ${\rm A}{\rm B}$, όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα.

2. Είναι: $({\rm A}{\rm B})=d(5,9)=|5-9)|=|-4|=4$.

   Επομένως το σημείο ${\rm M}$ απέχει $2$ μονάδες από το σημείο ${\rm A}(5)$ και $2$ μονάδες από το σημείο ${\rm B}(9)$, οπότε $x=7$.

   Αλγεβρικά:

   $$|x-5|=|x-9|$$ $$\iff x-5=x-9\text{ή}x-5=-x+9$$ $$x-5=x-9\text{αδύνατη ή}x-5=-x+9$$ $$\iff 2x=14$$ $$\iff x=7$$