ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο: \(x^{2}-4x+2-λ^{2}\) έχει \(α=1\), \(β=-4\), \(γ=2-λ^{2}\) και διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ$$ $$=(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot (2-λ^{2})$$ $$=16-8+4λ^{2}$$ $$=8+4λ^{2}$$

Είναι \(Δ=8+4λ^{2}>0\) για κάθε \(λ\in \mathbb{R}\) οπότε η εξίσωση \(x^{2}-4x+2-λ^{2}=0\) έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε \(λ\in \mathbb{R}\).

β) Από τους τύπους Vieta βρίσκουμε

1. \(S=x_{1}+x_{2}=-\dfrac{β}{α}=-\dfrac{-4}{1}=4\)

2. \(P=x_{1}\cdot x_{2}=\dfrac{γ}{α}=\dfrac{2-λ^{2}}{1}=2-λ^{2}\)

γ) Έστω \(x_{1}=2+\sqrt{3}\) και \(x_2\) η ζητούμενη ρίζα. Τότε:

1. Από το άθροισμα των ριζών έχουμε ότι:

$$x_{1}+x_{2}=4 $$ $$\Leftrightarrow 2+\sqrt{3}+x_{2}=4 $$ $$\Leftrightarrow x_{2}=4-2-\sqrt{3} $$ $$\Leftrightarrow x_{2}=2-\sqrt{3}$$

2. Από το γινόμενο των ριζών έχουμε ότι:

$$x_{1}\cdot x_{2}=2-λ^{2} $$ $$\Leftrightarrow (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2-λ^{2} $$ $$\Leftrightarrow 2^{2}-\sqrt{3}^{2}=2-λ^{2} $$ $$\Leftrightarrow 4-3=2-λ^{2} $$ $$\Leftrightarrow λ^{2}=1 $$ $$\Leftrightarrow λ=\pm 1$$