Θέμα: 36677

Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Πηγή: Ι.Ε.Π.	Αναγνώσθηκε: 4295 φορές Επικοινωνία
Μάθημα:	Άλγεβρα	Τάξη:	Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος:	36677	Θέμα:	4
Τελευταία Ενημέρωση:	13-Νοε-2023	Ύλη:	5.2. Αριθμητική πρόοδος 5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	36677
Ύλη:	5.2. Αριθμητική πρόοδος 5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)

Αρχείο Εκφώνησης (PDF) Αρχείο Εκφώνησης (DOC)

ΘΕΜΑ 4

Μια οικογένεια, προκειμένου να χρηματοδοτήσει τις σπουδές του παιδιού της, έχει να επιλέξει μεταξύ δυο προγραμμάτων που της προτείνονται:

Για το πρόγραμμα $Α$ πρέπει να καταθέσει τον $1ο$ μήνα $1$ ευρώ, το $2ο$ μήνα $2$ ευρώ, τον $3ο$ μήνα $4$ ευρώ και γενικά, κάθε μήνα που περνάει, πρέπει να καταθέτει ποσό διπλάσιο από αυτό που κατέθεσε τον προηγούμενο μήνα.

Για το πρόγραμμα $Β$ πρέπει να καταθέσει τον $1ο$ μήνα $100$ ευρώ, το $2ο$ μήνα $110$ ευρώ, τον $3ο$ μήνα $120$ ευρώ και γενικά, κάθε μήνα που περνάει πρέπει να καταθέτει ποσό κατά $10$ ευρώ μεγαλύτερο από εκείνο που κατέθεσε τον προηγούμενο μήνα.

α) Να βρείτε:

το ποσό $α_{ν}$ που πρέπει να κατατεθεί στο λογαριασμό τον $ν^ο$ (νιοστό) μήνα σύμφωνα με το πρόγραμμα $Α$.
(Μονάδες 4)
το ποσό $β_{ν}$ που πρέπει να κατατεθεί στο λογαριασμό τον $ν^ο$ μήνα σύμφωνα με το πρόγραμμα $Β$.
(Μονάδες 4)
το ποσό $Α_{ν}$ που θα υπάρχει στο λογαριασμό μετά από $ν$ μήνες σύμφωνα με το πρόγραμμα $Α$.
(Μονάδες 5)
το ποσό $Β_{ν}$ που θα υπάρχει στο λογαριασμό μετά από $ν$ μήνες σύμφωνα με το πρόγραμμα $Β$.
(Μονάδες 5)

β)

Τι ποσό θα υπάρχει στο λογαριασμό μετά τους πρώτους $6$ μήνες, σύμφωνα με κάθε πρόγραμμα;
(Μονάδες 3)
Αν κάθε πρόγραμμα ολοκληρώνεται σε $12$ μήνες, με ποιο από τα δύο προγράμματα το συνολικό ποσό που θα συγκεντρωθεί θα είναι μεγαλύτερο;
(Μονάδες 4)

Εμφάνιση Απάντησης

Αρχείο Απάντησης (PDF) Αρχείο Απάντησης (DOC)

ΛΥΣΗ

α) Από τα δεδομένα προκύπτει ότι:

το πρόγραμμα $Α$ περιγράφεται από μια γεωμετρική πρόοδο με $α_{1}=1$, $α_{2}=2$, $α_{3}=4$ και $λ=2$. Ισχύει επομένως ότι:

$$α_{ν}=α_{1}\cdot λ^{1}$$ $$=1\cdot 2^{1}=2^{1}$$

το πρόγραμμα $Β$ περιγράφεται από μια αριθμητική πρόοδο με $β_{1}=100$, $β_{2}=110$, $β_{3}=120$ και $ω=10$. Ισχύει επομένως ότι:

$$β_{ν}=β_{1}+(ν-1)\cdot ω$$ $$=100+(ν-1)\cdot 10$$ $$=100+10ν-10$$ $$=10ν+90$$

Το ποσό που θα υπάρχει μετά από $ν$ μήνες σύμφωνα με το πρόγραμμα $Α$ θα είναι:

$$Α_{ν}=α_{1}\cdot \dfrac{λ^{ν}-1}{λ-1}$$ $$=1\cdot \dfrac{2^{ν}-1}{2-1}$$ $$=2^{ν}-1$$

Το ποσό που θα υπάρχει μετά από $ν$ μήνες σύμφωνα με το πρόγραμμα $Β$ θα είναι:

$$Β_{ν}=\dfrac{(β_{1}+β_{ν})\cdot ν}{2}$$ $$=\dfrac{(100+10ν+90)\cdot ν}{2}$$ $$=\dfrac{(10ν+190)\cdot ν}{2}$$ $$=\dfrac{10ν^{2}+190ν}{2}$$ $$=5ν^{2}+95ν$$

β)

Το ποσό που θα υπάρχει, σύμφωνα με το πρόγραμμα $Α$, μετά από $6$ μήνες, είναι:

$$Α_{6}=2^{6}-1=63\ \text{ευρώ}$$

Το ποσό που θα υπάρχει, σύμφωνα με το πρόγραμμα $Β$, μετά από $6$ μήνες, είναι:

$$Β_{6}=5\cdot 6^{2}+95\cdot 6=180+570=750\ \text{ευρώ}$$
Το ποσό που θα υπάρχει, σύμφωνα με το πρόγραμμα $Α$, μετά από $12$ μήνες, είναι:

$$Α_{12}=2^{12}-1=4095\ \text{ευρώ}$$

Το ποσό που θα υπάρχει, σύμφωνα με το πρόγραμμα $Β$, μετά από $12$ μήνες:

$$Β_{12}=5\cdot 12^{2}+95\cdot 12=720+1140=1860\ \text{ευρώ}$$

Επομένως, ακολουθώντας το πρόγραμμα $Α$, θα έχει συγκεντρώσει μεγαλύτερο ποσό.