ΛΥΣΗ

α) Είναι \(x^{2} < x \Leftrightarrow x^{2}-x < 0\).

Το πολυώνυμο \(x^{2}-x\) έχει ρίζες τις \(0\) και \(1\) αφού:

$$x^{2}-x=0 $$ $$\Leftrightarrow x(x-1)=0 $$ $$\Leftrightarrow x=0\ \text{ή}\ x=1$$

Το πρόσημο του \(x^{2}-x\) φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Επομένως ισχύει: \(x^{2}-x<0 \Leftrightarrow x\in (0,1)\).

β)

1. Αφού \(0<α<1\) με βάση το α) έχουμε ότι \(α^{2}<α\).

   Επίσης \(α\ne 0\) οπότε \(α^{2}>0\).

   Τέλος αφού \(0<α<1\) είναι και \(0<\sqrt{α}<1\) οπότε με βάση το α) έχουμε ότι: \(\sqrt{α}^{2}<\sqrt{α} \Rightarrow α<\sqrt{α}\).

   Συνεπώς: \(0<α^{2}<α<\sqrt{α}<1\).

2. Ισοδύναμα βρίσκουμε:

   $$\sqrt{1+α}<1+\sqrt{α} $$ $$\Leftrightarrow \sqrt{1+α}^{2}<(1+\sqrt{α})^{2} $$ $$\Leftrightarrow 1+α<1+2\sqrt{α}+α $$ $$\Leftrightarrow 0<2\sqrt{α}$$

   που ισχύει για κάθε \(α>0\).