Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 6747 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 36680 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 27-Σεπ-2023 Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 36680
Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 27-Σεπ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνονται οι συναρτήσεις:

{f(x)=x24x+αg(x)=αx5,  με αR

α) Αν ισχύει f(2)=g(2), να βρείτε την τιμή του α.
(Μονάδες 7)

β) Για α=1,

  1. να λύσετε την εξίσωση: f(x)=g(x).
    (Μονάδες 8)

  2. να λύσετε την ανίσωση: f(x)g(x) και, με τη βοήθεια αυτής, να λύσετε την εξίσωση: |f(x)g(x)|=f(x)g(x).
    (Μονάδες 5 + 5 = 10)

ΛΥΣΗ

α) Αφού f(2)=g(2) έχουμε ισοδύναμα

f(2)=g(2) 2242+α=α25 48+α=2α5 α2α=4+85 α=1 α=1

β) Για α=1 έχουμε f(x)=x24x+1 και g(x)=x5.

  1. Η εξίσωση: f(x)=g(x) γίνεται ισοδύναμα

    x24x+1=x5 x24x+1x+5=0 x25x+6=0

    Το τριώνυμο x25x+6 έχει διακρίνουσα:

    Δ=(5)2416 =2524=1>0

    και ρίζες τις:

    x1,2=(5)±121=5±12 {x1=5+12=62=3x2=512=42=2

  2. Η ανίσωση: f(x)g(x) γίνεται ισοδύναμα

    x24x+1x5 x24x+1x+50 x25x+60

    Το τριώνυμο x25x+6 έχει ρίζες τις x1=3 και x2=2 και το πρόσημο του φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

    Από τον παραπάνω πίνακα προσήμων συμπεραίνουμε ότι:

    x25x+60 x(,2][3,+)

    Από τη ιδιότητα |α|=αα0 έχουμε ότι:

    |f(x)g(x)|=f(x)g(x) f(x)g(x)0 x(,2][3,+)