ΛΥΣΗ

α) Η συνάρτηση \(f\) έχει πεδίο ορισμού το \(Α=\mathbb{R}\) και η \(g\) το \(Β=\mathbb{R}\).
Οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \(f\) και \(g\), είναι οι λύσεις της εξίσωσης \(f(x)=g(x)\). Είναι:

$$f(x)=g(x) $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-2x=3x-4 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-5x+4=0$$

Το τριώνυμο \(x^{2}-5x+4\) έχει διακρίνουσα:

$$Δ=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 4$$ $$=25-16=9>0$$

και ρίζες τις:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-(-5)\pm \sqrt{9}}{2\cdot 1}$$ $$=\dfrac{5\pm 3}{2} $$ $$\Rightarrow \begin{cases} x_{1} = \dfrac{5+3}{2} = \dfrac{8}{2} =4 \\ \\ x_{2} = \dfrac{5-3}{2}= \dfrac{2}{2} =1 \end{cases}$$

Για \(x=4\) έχουμε:

$$g(4)=3\cdot 4-4=12-4=8$$

Για \(x=1\) έχουμε:

$$g(1)=3\cdot 1-4=3-4=-1$$

Συνεπώς τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \(f\) και \(g\), είναι τα \(Α(4,8)\) και \(Β(1,-1)\).

β) Τα διαστήματα για τα οποία η γραφική παράσταση της \(f\) είναι κάτω από εκείνη της \(g\) είναι εκείνα για τα οποία ισχύει: \(f(x)<g(x)\). Είναι:

$$f(x) < g(x) $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-2x < 3x-4 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-5x+4 < 0$$

Το τριώνυμο \(x^{2}-5x+4\) έχει και ρίζες τις \(x_{1}=4\), \(x_{2}=1\) και το πρόσημό του φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Από τον πίνακα προσήμων συμπεραίνουμε ότι:

$$x^{2}-5x+4<0 $$ $$\Leftrightarrow x\in (1,4)$$

γ) Kάθε ευθεία της μορφής \(y=α\), \(α<-1\), βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της \(f\), αν και μόνο αν ισχύει: \(f(x)>α\), για κάθε \(α<-1\). Είναι:

$$f(x)>α $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-2x>α $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-2x-α>0$$

Το τριώνυμο \(x^{2}-2x-α\) έχει διακρίνουσα:

$$Δ=(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot (-α)$$ $$=4+4α<0\ \text{, για κάθε}\ α<-1$$

οπότε για κάθε \(x\in \mathbb{R}\) είναι ομόσημο του συντελεστή του \(x^{2}\), δηλαδή του \(α=1>0\).

Επομένως για κάθε \(x\in \mathbb{R}\) ισχύει ότι:

$$x^{2}-2x-α>0 $$ $$\Leftrightarrow f(x)>α$$

που σημαίνει ότι κάθε ευθεία της μορφής \(y=α\), \(α<-1\), βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της \(f\).