ΛΥΣΗ

α) Η συνάρτηση \(f\) ορίζεται για τις τιμές του \(x\) για τις οποίες ισχύει:

$$x-2\ne 0 \Leftrightarrow x\ne 2$$

Άρα το πεδίο ορισμού της \(f\) είναι \(Α=\mathbb{R}-\{2\}\).

β)
i. Έχουμε ισοδύναμα:

$$f(x)=0 $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{x^{2}-1}{x-2}=0$$ $$\overset{x\ne 2}{ \Leftrightarrow } x^{2}-1=0$$

οπότε:

$$x^{2}=1$$

και τελικά:

$$x=-1\ \ \text{ή}\ \ x=1$$

Άρα για \(x=-1\) και \(x=1\), \(f(x)=0\).

ii. Έχουμε:

$$f(0)=\dfrac{0^{2}-1}{0-2}=\dfrac{1}{2}$$

και:

$$f(3)=\dfrac{3^{2}-1}{3-2}=8$$

γ) Από το βi ερώτημα έχουμε \(f(-1)=0\) και \(f(1)=0\). Από το βii ερώτημα έχουμε \(f(0)=\dfrac{1}{2}\).

Άρα η γραφική παράσταση της \(f\) τέμνει τον \(x'x\) άξονα στα σημεία \((-1,0)\) και \((1,0)\) και τον \(y'y\) άξονα στο σημείο \(\left(0,\dfrac{1}{2}\right)\).