ΛΥΣΗ

α) Έχουμε ισοδύναμα:

$$α+\dfrac{1}{α}\le -2$$ $$\overset{α<0}{ \Leftrightarrow } α^{2}+α\cdot \dfrac{1}{α}\ge -2α$$ $$\Leftrightarrow α^{2}+1+2α\ge 0$$ $$\Leftrightarrow (α+1)^{2}\ge 0\text{ , που ισχύει.}$$

β) Έχουμε ισοδύναμα:

$$|α|+\left|\dfrac{1}{α}\right|\ge 2$$ $$\overset{α<0}{ \Leftrightarrow } -α-\dfrac{1}{α}\ge 2$$ $$\Leftrightarrow α+\dfrac{1}{α}\le -2$$

που από το α) ερώτημα ισχύει για κάθε \(α<0\).