ΛΥΣΗ

α) Έχουμε ισοδύναμα:

$$\left|\dfrac{α}{β}\right|+\left|\dfrac{β}{α}\right|\ge 2$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{|α|}{|β|}+\dfrac{|β|}{|α|}\ge 2$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{|α|^{2}+|β|^{2}}{|α|\cdot |β|}\ge 2$$ $$\Leftrightarrow |α|^{2}+|β|^{2}\ge 2|α|\cdot |β|$$ $$\Leftrightarrow |α|^{2}+|β|^{2}-2|α|\cdot |β|\ge 0$$ $$\Leftrightarrow (|α|-|β|)^{2}\ge 0\ \ \ \text{που ισχύει}$$

β) Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν:

$$|α|-|β|=0 $$ $$\Leftrightarrow |α|=|β|$$

δηλαδή αν και μόνο αν \(α=β\) ή \(α=-β\) (δηλαδή όταν οι αριθμοί \(α\), \(β\) είναι ίσοι ή αντίθετοι).