Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 13567 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 37124 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαρ-2024 Ύλη: 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Γεωμετρία
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 37124
Ύλη: 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων
Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαρ-2024
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ. Στην προέκταση της ΑΒ (προς το Β) θεωρούμε σημείο Ε έτσι ώστε ΑΕ=ΑΓ. Στην πλευρά ΑΓ θεωρούμε σημείο Δ έτσι ώστε ΑΔ=ΑΒ. Αν τα τμήματα ΔΕ και ΒΓ τέμνονται στο Κ και η προέκταση της ΑΚ τέμνει την ΕΓ στο Μ, τότε να αποδείξετε ότι:

α) ΒΓ=ΔΕ
(Μονάδες 6)

β) ΒΚ=ΚΔ
(Μονάδες 7)

γ) Η ΑΚ είναι διχοτόμος της γωνίας Α.
(Μονάδες 6)

δ) Η ΑΜ είναι μεσοκάθετος της ΕΓ.
(Μονάδες 6)

ΛΥΣΗ

α) Τα τρίγωνα ΒΕΓ και ΔΕΓ έχουν:

  • ΕΓ κοινή
  • BE=ΔΓ ως διαφορά των ίσων τμημάτων ΑΕ, ΑΒ και ΑΓ, ΑΔ αντίστοιχα
  • ΑΕΓ^=ΑΓΕ^, αφού ΕΑΓ ισοσκελές τρίγωνο

Τα τρίγωνα ΒΕΓ και ΔΕΓ έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες γωνίες σε αυτές ίσες άρα είναι ίσα, οπότε έχουν και ΒΓ=ΔΕ αφού βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες ΑΕΓ^ και ΑΓΕ^.

β) Επειδή τα τρίγωνα ΒΕΓ και ΔΕΓ είναι ίσα προκύπτει ότι ΔΕΓ^=ΔΓΕ^ οπότε το τρίγωνο ΚΕΓ είναι ισοσκελές, άρα ΕΚ=ΚΓ  (1).

Τα τρίγωνα ΒΕΚ και ΔΚΓ έχουν:

  • ΕΚ=ΚΓ, λόγω της (1)
  • BE=ΔΓ, ως διαφορές των ίσων τμημάτων ΑΕ, ΑΒ και ΑΓ, ΑΔ αντίστοιχα
  • ΒΕΚ^=ΔΓΚ^ ως διαφορές των ίσων γωνιών ΒΕΓ^, ΚΕΓ^ και ΔΓΕ^, ΚΓΕ^ αντίστοιχα

Τα τρίγωνα ΒΕΚ και ΔΚΓ έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες γωνίες σε αυτές ίσες άρα είναι ίσα, οπότε έχουν και ΒΚ=ΚΔ αφού βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες ΒΕΚ^ και ΔΓΚ^.

γ) Τα τρίγωνα ΑΒΚ και ΑΚΔ έχουν:

  • ΒΚ=ΚΔ από το (β) ερώτημα
  • ΑΚ κοινή
  • ΑΒ=ΑΔ

Οπότε τα τρίγωνα ΑΒΚ και ΑΚΔ είναι ίσα γιατί έχουν τρεις πλευρές ίσες μία προς μία.

Επομένως ΒΑΚ^=ΚΑΔ^ ως γωνίες που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες πλευρές ΒΚ και ΚΔ, οπότε η ΑΚ είναι διχοτόμος της γωνίας Α^.

δ) Επειδή το τρίγωνο ΑΕΓ είναι ισοσκελές και η ΑΜ είναι διχοτόμος της γωνίας Α^, θα είναι διάμεσος και ύψος, άρα η ΑΜ είναι μεσοκάθετος της ΕΓ.