Λύση

α) Το τριώνυμο \(−x^{2}+5x−6\) έχει \(α=−1\), \(β=5\), \(γ=−6\) και διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}−4αγ$$ $$=5^{2}−4\cdot (−1)\cdot (−6)$$ $$=25−24=1>0$$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{−β\pm \sqrt{Δ}}{2a}$$ $$=\dfrac{−5\pm \sqrt{1}}{2\cdot (−1)}=2\ \text{και}\ 3$$

Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Επομένως ισχύει:

$$−x^{2}+5x−6 < 0 $$ $$\Leftrightarrow (x<2\ \ \text{ή}\ \ x>3) $$ $$\Leftrightarrow x\in (−\infty ,2)\cup (3,+\infty)$$

Την ανίσωση \(x^{2}−16\le 0\) θα την λύσουμε με συντομότερο τρόπο. Ισχύει ότι:

$$x^{2}−16\le 0 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}\le 16 $$ $$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}}\le \sqrt{16} $$ $$\Leftrightarrow |x|\le 4 $$ $$\Leftrightarrow −4\le x\le 4 $$ $$\Leftrightarrow x\in [−4,4]$$

β) Αναπαριστούμε τις λύσεις των παραπάνω εξισώσεων στον ίδιο άξονα αριθμών και όπως φαίνεται από το σχήμα που ακολουθεί:

οι κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων είναι:

$$−4\le x < 2\ \ \text{ή}\ \ 3 < x\le 4 $$ $$\Leftrightarrow x\in [−4,2)\cup (3,4]$$