α) Η περίμετρος \(Π\) του ορθογωνίου είναι:

$$Π=2(x+1)+2x=4x+2, \text{ με } x>0$$

και το εμβαδόν του \(Ε\) είναι:

$$E=x(x+1)=x^{2}+x, \text{ με }x>0$$

β) Ισχύει ότι:

$$Ε=90$$ $$\Leftrightarrow x^{2}+x=90$$ $$\Leftrightarrow x^{2}+x-90=0. $$

Το τριώνυμο \(x^{2}+x-90\) έχει \(α=1,β=1,γ=-90\) και διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4a\cdot γ=1^{2}-4\cdot 1\cdot (-90)=361>0$$

Οι ρίζες της εξίσωσης \(x^{2}+x-90=0\) είναι:

$$\begin{align} x_{1,2} & =\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}\\ & =\dfrac{-1\pm \sqrt{361}}{2}\\ &=\dfrac{-1\pm 19}{2} \\ & = \begin{cases} \dfrac{-1+19}{2} =9 \\ \dfrac{-1-19}{2} =-10\end{cases}\end{align}$$

Η λύση \(x=-10\) απορρίπτεται αφού \(x>0\).
Συνεπώς, οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι \(x=9\) μέτρα και \(x+1=10\) μέτρα.