α)
i Είναι:

$$|1-2x| \lt 5 $$ $$\Leftrightarrow -5\lt 1-2x\lt 5$$ $$\Leftrightarrow -5-1\lt 1-2x-1\lt 5-1$$ $$\Leftrightarrow -6\lt -2x\lt 4$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{-6}{-2} > \dfrac{-2x}{-2}>\dfrac{4}{-2}$$ $$\Leftrightarrow 3>x>-2$$ $$\Leftrightarrow -2\lt x\lt 3$$

ii Ισχύει ότι:

$$|1-2x|\ge 1$$ $$\Leftrightarrow 1-2x\le -1 \text{ ή } 1-2x\ge 1$$ $$\Leftrightarrow -2x\le -2 \text{ ή }  -2x\ge 0$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{-2x}{-2}\ge \dfrac{-2}{-2} \text{ ή } \dfrac{-2x}{-2}\le \dfrac{0}{-2}$$ $$\Leftrightarrow x\ge 1 \text{ ή } x\le 0$$

Οι λύσεις των παραπάνω ανισώσεων παριστάνονται στον πίνακα των πραγματικών αριθμών με το παρακάτω σχήμα:

β) Από τις λύσεις των δύο ανισώσεων και από το παραπάνω σχήμα προκύπτει ότι οι κοινές τους λύσεις είναι:

$$-2 \lt x\le 0 \text{ ή } 1\le x\lt 3$$ $$\Leftrightarrow x\in (-2,0]\cup [1,3)$$

Επομένως οι ακέραιες αντίστοιχα κοινές λύσεις είναι:

$$x=-1,\ x=0,\ x=1,\ x=2$$