α) Είναι:

$$1\lt x\lt 4$$ $$\Leftrightarrow 1\lt x \text{ και } x\lt 4$$ $$\Leftrightarrow x-1>0 \text{ και } x-4 \lt 0$$

Άρα \(|x-1|=x-1\).

Ισχύει ακόμα:

$$2\lt y\lt 3$$ $$\Leftrightarrow 2\lt y \text{ και } y\lt 3$$ $$\Leftrightarrow y-2>0 \text{ και } y-3\lt 0$$

Άρα \(|y-3|=-(y-3)=3-y\).

Τότε:

$$\begin{align} A & = |x-1|+|y-3|\\ & = x-1+3-y\\ &= x-y+2\end{align}$$

β) Είναι \(1\lt x\lt 4\ \ \ \ (1)\) και:

$$2\lt y\lt 3$$ $$\Leftrightarrow -2>-y>-3$$ $$\Leftrightarrow -3\lt -y\lt -2$$ $$\Leftrightarrow -3+2\lt -y+2\lt -2+2$$ $$\Leftrightarrow -1\lt -y+2\lt 0 \ \ \ \ (2)$$

Προσθέτουμε κατά μέλη τις ανισότητες \((1), (2)\) και βρίσκουμε:

$$1-1\lt x-y+2\lt 4+0$$ $$\Leftrightarrow 0\lt x-y+2\lt 4$$

Άρα \(0\lt A\lt 4\).