ΛΥΣΗ

α) Οι τετμημένες των σημείων τομής των \(C_{f}\), \(C_{g}\) αποτελούν λύσεις της εξίσωσης \(f(x)=g(x)\). Τότε:

$$f(x)=g(x) $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+3x+2=x+1 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+2x+1=0 $$ $$\Leftrightarrow (x+1)^{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow x+1=0 $$ $$\Leftrightarrow x=-1$$

Άρα οι \(C_{f}\), \(C_{g}\) έχουν μόνο ένα κοινό σημείο, το \(A(-1,g(-1))\) δηλαδή το \(A(-1,0)\). (η ευθεία εφάπτεται της παραβολής).

β) Οι τετμημένες των κοινών σημείων των \(C_{f}\), \(C_{h}\) είναι λύσεις της εξίσωσης \(f(x)=h(x)\). Δηλαδή:

$$f(x)=h(x) $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+3x+2=x+a$$ $$\Leftrightarrow x^{2}+2x+(2-a)=0,\ \ a\in \mathbb{R}\ \ \ \ (1)$$

Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα:

$$Δ=2^{2}-4\cdot 1\cdot (2-a)$$ $$=4-8+4a$$ $$=4a-4$$ $$=4(a-1)$$

1. Αν \(a>1\) τότε \(Δ>0\) και η εξίσωση \((1)\) έχει δύο ρίζες άνισες το οποίο σημαίνει ότι οι γραφικές παραστάσεις των \(f\), \(h\) έχουν δύο κοινά σημεία.
2. Αν \(a<1\) τότε \(Δ<0\) και η εξίσωση \((1)\) δεν έχει πραγματικές ρίζες το οποίο σημαίνει ότι οι γραφικές παραστάσεις των \(f\), \(h\) δεν έχουν κοινά σημεία.